1. (A vida pode ser bem infernal às vezes) Desenvolvendo f(x)=\operatorname{cosh} a x, a \in \mathbb{R} em série de Fourier no intervalo -\pi<x<\pi, mostre que
\operatorname{cosh} a x=\frac{\operatorname{senh} a \pi}{a \pi}+\frac{2 a \operatorname{senh} a \pi}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}} \cos n x
Em seguida, usando o Teorema de Fourier, ache a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}}

Passo 1

Dados: a função f(x)=\operatorname{cosh}(a x) com a\in\mathbb{R}, definida no intervalo -\pi<x<\pi.
Pede-se: (i) desenvolver f em série de Fourier nesse intervalo e obter a identidade
\operatorname{cosh} a x=\frac{\operatorname{sinh} a \pi}{a \pi}+\frac{2 a \operatorname{sinh} a \pi}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}} \cos n x,
e (ii) usando o teorema de Fourier, calcular a soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é par ( \operatorname{cosh} é par), está considerada no período natural 2\pi (intervalo -\pi,\pi), e a série de Fourier padrão em (- \pi,\pi) será usada.

Passo 2

Recordando a fórmula padrão da série de Fourier para uma função f definida em (- \pi,\pi):
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),
onde as componentes são dadas por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos nt\,dt,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin nt\,dt.
Aqui a_0/2 é o termo constante, a_n são os coeficientes das cossenos e b_n dos senos. Como f(x)=\operatorname{cosh}(ax) é uma função par, temos, sem cálculo pesado, que b_n=0 para todo n (produto de par por ímpar é ímpar e a integral ímpar sobre [- \pi,\pi] é zero). Além disso, para a função par podemos usar as fórmulas reduzidas
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(t)\,dt,\qquad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(t)\cos nt\,dt.
Não estou resolvendo ainda: apenas escrevendo as ferramentas que vamos usar.

Passo 3

Calcule a_0/2. Usando a fórmula reduzida:
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a t)\,dt.
Integramos \operatorname{cosh}(at): \displaystyle\int \operatorname{cosh}(at)\,dt=\frac{1}{a}\operatorname{sinh}(at) (explicando: derivada de \operatorname{sinh}(at) é a\operatorname{cosh}(at)). Assim
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{a}\operatorname{sinh}(at)\right]_{0}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{a}\big(\operatorname{sinh}(a\pi)-\operatorname{sinh} 0\big)=\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi},
porque \operatorname{sinh} 0=0. Então o termo constante da série é \displaystyle\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}.

Passo 4

Agora calcularemos a_n para n\ge1. Pela fórmula reduzida:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a t)\cos(nt)\,dt.
Denotemos a integral por
I_n=\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(a t)\cos(nt)\,dt.
Nosso objetivo é avaliar I_n explicitamente. Vou avaliar I_n usando representações exponenciais (método direto, que evita integrações por partes repetidas e dá resultado limpo).

Passo 5

Expressões exponenciais: \displaystyle\operatorname{cosh}(at)=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2} e \displaystyle\cos(nt)=\frac{e^{int}+e^{-int}}{2}. Multiplicando,
\operatorname{cosh}(at)\cos(nt)=\frac{1}{4}\big(e^{(a+in)t}+e^{(a-in)t}+e^{(-a+in)t}+e^{(-a-in)t}\big).
Integrando termo a termo de 0 a \pi:
I_n=\frac{1}{4}\sum_{\lambda\in\{a+in,a-in,-a+in,-a-in\}}\int_{0}^{\pi} e^{\lambda t}\,dt =\frac{1}{4}\sum_{\lambda}\frac{e^{\lambda\pi}-1}{\lambda}.
Agora vamos somar esses quatro termos com cuidado. Note que e^{in\pi}=(-1)^n. Calculando os dois pares:
\frac{e^{(a+in)\pi}-1}{a+in}+\frac{e^{(a-in)\pi}-1}{a-in} =\big(e^{a\pi}(-1)^n-1\big)\Big(\frac{1}{a+in}+\frac{1}{a-in}\Big).
Mas
\frac{1}{a+in}+\frac{1}{a-in}=\frac{2a}{a^{2}+n^{2}}.
Da mesma forma,
\frac{e^{(-a+in)\pi}-1}{-a+in}+\frac{e^{(-a-in)\pi}-1}{-a-in} =\big(e^{-a\pi}(-1)^n-1\big)\Big(\frac{1}{-a+in}+\frac{1}{-a-in}\Big)
e
\frac{1}{-a+in}+\frac{1}{-a-in}=\frac{-2a}{a^{2}+n^{2}}.
Somando os quatro termos obtemos:
\sum_{\lambda}\frac{e^{\lambda\pi}-1}{\lambda} =\frac{2a}{a^{2}+n^{2}}\big(e^{a\pi}(-1)^n-1\big)-\frac{2a}{a^{2}+n^{2}}\big(e^{-a\pi}(-1)^n-1\big).
Agrupando,
\sum_{\lambda}\frac{e^{\lambda\pi}-1}{\lambda} =\frac{2a(-1)^n}{a^{2}+n^{2}}\big(e^{a\pi}-e^{-a\pi}\big) =\frac{4a(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{a^{2}+n^{2}}.
Portanto
I_n=\frac{1}{4}\cdot\frac{4a(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{a^{2}+n^{2}}=\frac{a\operatorname{sinh}(a\pi)(-1)^n}{a^{2}+n^{2}}.

Passo 6

Voltando a a_n:
a_n=\frac{2}{\pi}I_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{a\operatorname{sinh}(a\pi)(-1)^n}{a^{2}+n^{2}} =\frac{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n}{a^{2}+n^{2}}.
Como b_n=0, a série de Fourier de f em (- \pi,\pi) fica
\operatorname{cosh}(a x)=\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}+\frac{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{a^{2}+n^{2}}\cos(nx).
Isso é exatamente a identidade pedida (troquei \operatorname{sinh} por \operatorname{sinh} conforme notação padrão).

Passo 7

Agora usamos o Teorema de Fourier para obter a soma desejada. A série de Fourier obtida converge para f(x)=\operatorname{cosh}(ax) em todos os x porque \operatorname{cosh}(ax) é contínua e suave. Tomando x=0 (escolha natural, porque \cos(0)=1), obtemos
\operatorname{cosh}(0)=1=\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}+\frac{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{a^{2}+n^{2}}.
Denotando S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{2}+a^{2}}, temos
1=\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}+\frac{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}S.

Passo 8

Isolando S:
1-\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}=\frac{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}S,
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S=\frac{1-\dfrac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}}{\dfrac{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi}} =\frac{\pi}{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}-\frac{1}{2a^{2}}.
Podemos deixar a resposta nessa forma simples e explícita.

Resposta

\operatorname{cosh} a x=\frac{\operatorname{sinh} a \pi}{a \pi}+\frac{2 a \operatorname{sinh} a \pi}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}} \cos n x
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}}=\frac{\pi}{2a\operatorname{sinh}(a\pi)}-\frac{1}{2a^{2}}

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