- (A vida pode ser bem infernal às vezes) Desenvolvendo
,
em série de Fourier no intervalo
, mostre que
Em seguida, usando o Teorema de Fourier, ache a soma da série
Passo 1
Dados: a função
com
, definida no intervalo
.
Pede-se: (i) desenvolver em série de Fourier nesse intervalo e obter a identidade
Pede-se: (i) desenvolver
e (ii) usando o teorema de Fourier, calcular a soma
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função é par (
é par), está considerada no período natural
(intervalo
), e a série de Fourier padrão em
será usada.
Passo 2
Recordando a fórmula padrão da série de Fourier para uma função
definida em
:
onde as componentes são dadas por
Aqui
é o termo constante,
são os coeficientes das cossenos e
dos senos. Como
é uma função par, temos, sem cálculo pesado, que
para todo
(produto de par por ímpar é ímpar e a integral ímpar sobre
é zero). Além disso, para a função par podemos usar as fórmulas reduzidas
Não estou resolvendo ainda: apenas escrevendo as ferramentas que vamos usar.
Passo 3
Calcule
. Usando a fórmula reduzida:
Integramos
:
(explicando: derivada de
é
). Assim
porque
. Então o termo constante da série é
.
Passo 4
Agora calcularemos
para
. Pela fórmula reduzida:
Denotemos a integral por
Nosso objetivo é avaliar
explicitamente. Vou avaliar
usando representações exponenciais (método direto, que evita integrações por partes repetidas e dá resultado limpo).
Passo 5
Expressões exponenciais:
e
. Multiplicando,
Integrando termo a termo de
a
:
Agora vamos somar esses quatro termos com cuidado. Note que
. Calculando os dois pares:
Mas
Da mesma forma,
e
Somando os quatro termos obtemos:
Agrupando,
Portanto
Passo 6
Voltando a
:
Como
, a série de Fourier de
em
fica
Isso é exatamente a identidade pedida (troquei
por
conforme notação padrão).
Passo 7
Agora usamos o Teorema de Fourier para obter a soma desejada. A série de Fourier obtida converge para
em todos os
porque
é contínua e suave. Tomando
(escolha natural, porque
), obtemos
Denotando
, temos
Passo 8
Isolando
:
logo
Podemos deixar a resposta nessa forma simples e explícita.