Para cada uma das equações diferenciais parciais a seguir, determine se é possível escrever
e separe as variáveis para obter duas equações diferenciais ordinárias em
e
. Se for possível, resolva essas equações.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e pede para verificar se é possível buscar soluções da forma
, separar variáveis em duas equações ordinárias e, quando possível, resolver essas equações. As informações relevantes são:
- A incógnita é
. - Supõe-se uma forma separada
. - Deve-se substituir essa forma na PDE, tentar separar em uma equação só em
e outra só em e resolver as ODEs resultantes, se existirem.
Passo 2
Substituo
e calculo as derivadas necessárias (tudo em produto de funções puras de
e
):
Substituindo na PDE obtém-se
Passo 3
Divido a equação anterior por
(assumindo
e
não nulas para análise):
Escrevendo compactamente com
e
temos
Para que haja separação clássica (isto é, uma soma de uma função de
mais uma função de
igual a constante), o termo misto
não pode depender simultaneamente de
e
. Aqui esse termo é produto de uma função apenas de
por uma função apenas de
; em geral ele impede a separação em duas ODEs independentes.
Passo 4
Conclusão imediata: em geral não é possível separar a PDE em duas ODEs independentes porque resta o termo misto
que depende de ambas as variáveis. Porém, podem existir casos especiais em que esse termo torna-se uma constante (ou zero), permitindo separação. Vou analisar esses casos especiais — eles correspondem a suposições simples sobre
ou
.
Passo 5
Se
então
com
constante não nula. Substituindo
na equação obtida no Passo 2:
isto é
Para
obtemos
Essa igualdade implica, para
, que
. Se exigirmos solução regular em todo
(ou intervalo que inclua
), tomamos
em todo lugar, o que dá a solução geral linear:
onde
são constantes. Portanto, com
e
obtemos soluções separáveis da PDE do tipo
Podemos absorver
em
e escrever, de forma mais simples,
com
constantes arbitrárias. Note que a solução constante (
) também está incluída.
Passo 6
Se
então
com
constante não nula. Substituindo em (Passo 2):
isto é
Para
obtemos
Para
isso dá
. Novamente, exigindo regularidade, tomamos
em todo domínio, obtendo a solução linear
com
constantes. Assim, com
e
obtemos soluções separáveis da PDE do tipo
Absorvendo
em
temos a forma mais simples
com
constantes. A solução constante (
) está incluída.
Passo 7
Para completar: suponha
e
com
constantes não nulas. Então
,
. Substituindo em (Passo 2) e dividindo por
obtém-se
Isto exige que os coeficientes de
e de
sejam zero simultaneamente, logo
e
, o que força
. Portanto não existem separações não-triviais com exponenciais (ou com
). Isso confirma que os únicos casos separados possíveis são os tratados nos Passos 5 e 6 (ou o caso trivial
constante).
Passo 8
A PDE é linear e homogênea. Assim qualquer combinação linear (soma) de soluções é solução. Em particular, somando uma solução da forma
e outra da forma
obtém-se uma solução mais geral
que, porém, não é do tipo multiplicativo
(a menos de casos degenerados). A pergunta original exigia a representação
; para essa forma multiplicativa as soluções separáveis não-triviais são apenas as encontradas acima.
Resposta
Não é possível separar as variáveis de forma geral. As únicas soluções não-triviais do tipo
são: