Para cada uma das equações diferenciais parciais a seguir, determine se é possível escrever u(x, t)=X(x) T(t) e separe as variáveis para obter duas equações diferenciais ordinárias em X e T. Se for possível, resolva essas equações.
x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial t}+t \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
x\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t}+t\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=0
e pede para verificar se é possível buscar soluções da forma u(x,t)=X(x)\,T(t), separar variáveis em duas equações ordinárias e, quando possível, resolver essas equações. As informações relevantes são:
  • A incógnita é u(x,t).
  • Supõe-se uma forma separada u(x,t)=X(x)\,T(t).
  • Deve-se substituir essa forma na PDE, tentar separar em uma equação só em x e outra só em t e resolver as ODEs resultantes, se existirem.

Passo 2

Substituo u(x,t)=X(x)\,T(t) e calculo as derivadas necessárias (tudo em produto de funções puras de x e t):
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=X''(x)\,T(t), \qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t}=X'(x)\,T'(t), \qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=X(x)\,T''(t).
Substituindo na PDE obtém-se
x\,X''(x)T(t)+X'(x)T'(t)+t\,X(x)T''(t)=0.

Passo 3

Divido a equação anterior por X(x)T(t) (assumindo X e T não nulas para análise):
x\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{X'(x)}{X(x)}\cdot\frac{T'(t)}{T(t)}+t\frac{T''(t)}{T(t)}=0.
Escrevendo compactamente com p(x)=\dfrac{X'(x)}{X(x)} e q(t)=\dfrac{T'(t)}{T(t)} temos
x\frac{X''(x)}{X(x)}+p(x)\,q(t)+t\frac{T''(t)}{T(t)}=0.
Para que haja separação clássica (isto é, uma soma de uma função de x mais uma função de t igual a constante), o termo misto p(x)\,q(t) não pode depender simultaneamente de x e t. Aqui esse termo é produto de uma função apenas de x por uma função apenas de t; em geral ele impede a separação em duas ODEs independentes.

Passo 4

Conclusão imediata: em geral não é possível separar a PDE em duas ODEs independentes porque resta o termo misto \dfrac{X'}{X}\cdot\dfrac{T'}{T} que depende de ambas as variáveis. Porém, podem existir casos especiais em que esse termo torna-se uma constante (ou zero), permitindo separação. Vou analisar esses casos especiais — eles correspondem a suposições simples sobre X ou T.

Passo 5

Se \dfrac{X'}{X}=0 então X(x)=K com K constante não nula. Substituindo X=K na equação obtida no Passo 2:
x\cdot 0\cdot T(t) + 0\cdot T'(t) + t\cdot K\cdot T''(t)=0,
isto é
K\,t\,T''(t)=0.
Para K\neq0 obtemos
t\,T''(t)=0\quad\text{para todo }t.
Essa igualdade implica, para t\neq0, que T''(t)=0. Se exigirmos solução regular em todo \mathbb{R} (ou intervalo que inclua 0), tomamos T''(t)=0 em todo lugar, o que dá a solução geral linear:
T(t)=A\,t+B,
onde A,B são constantes. Portanto, com X(x)=K e T(t)=A t+B obtemos soluções separáveis da PDE do tipo
u(x,t)=K\,(A t+B).
Podemos absorver K em A,B e escrever, de forma mais simples,
u(x,t)=\alpha\,t+\beta,
com \alpha,\beta constantes arbitrárias. Note que a solução constante ( \alpha=0) também está incluída.

Passo 6

Se \dfrac{T'}{T}=0 então T(t)=M com M constante não nula. Substituindo em (Passo 2):
x\,X''(x)M + X'(x)\cdot 0 + t\,X(x)\cdot 0 = 0,
isto é
M\,x\,X''(x)=0.
Para M\neq0 obtemos
x\,X''(x)=0\quad\text{para todo }x.
Para x\neq0 isso dá X''(x)=0. Novamente, exigindo regularidade, tomamos X''(x)=0 em todo domínio, obtendo a solução linear
X(x)=C\,x+D,
com C,D constantes. Assim, com T(t)=M e X(x)=C x+D obtemos soluções separáveis da PDE do tipo
u(x,t)=(C x+D)\,M.
Absorvendo M em C,D temos a forma mais simples
u(x,t)=\gamma\,x+\delta,
com \gamma,\delta constantes. A solução constante ( \gamma=0) está incluída.

Passo 7

Para completar: suponha \dfrac{X'}{X}=a e \dfrac{T'}{T}=b com a,b constantes não nulas. Então X(x)=C_1 e^{a x}, T(t)=C_2 e^{b t}. Substituindo em (Passo 2) e dividindo por X T obtém-se
x a^2 + a b + t b^2 =0\quad\text{para todos }x,t.
Isto exige que os coeficientes de x e de t sejam zero simultaneamente, logo a^2=0 e b^2=0, o que força a=b=0. Portanto não existem separações não-triviais com exponenciais (ou com a,b\neq0). Isso confirma que os únicos casos separados possíveis são os tratados nos Passos 5 e 6 (ou o caso trivial u constante).

Passo 8

A PDE é linear e homogênea. Assim qualquer combinação linear (soma) de soluções é solução. Em particular, somando uma solução da forma \alpha t+\beta e outra da forma \gamma x+\delta obtém-se uma solução mais geral
u(x,t)=\alpha t + \gamma x + \eta,
que, porém, não é do tipo multiplicativo X(x)T(t) (a menos de casos degenerados). A pergunta original exigia a representação u=X(x)T(t); para essa forma multiplicativa as soluções separáveis não-triviais são apenas as encontradas acima.

Resposta

Não é possível separar as variáveis de forma geral. As únicas soluções não-triviais do tipo u(x,t)=X(x)T(t) são:
\text{(i) }X(x)=\text{const},\quad T(t)=A t + B\quad\Rightarrow\quad u(x,t)=\alpha t + \beta,
\text{(ii) }T(t)=\text{const},\quad X(x)=C x + D\quad\Rightarrow\quad u(x,t)=\gamma x + \delta.

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