Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \operatorname{sen} \frac{x}{2} d x;

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que temos de informação. O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}\frac{x}{2}\,dx.
Informações relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right) (em notação usual de matemática, \operatorname{sen}(t)=\sin(t)).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right). Não esquecer a constante de integração C.

Passo 2

Explico o método que vou usar: substituição (a “regra da cadeia” ao contrário). Ideia geral: se tivermos uma função composta \sin(ax), existe uma fórmula direta para integrar:
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C,
porque, lembrando derivadas, \dfrac{d}{dx}\cos(ax) = -a\sin(ax). Aqui a é uma constante (neste problema a=\tfrac{1}{2}). A fórmula é uma consequência direta da regra da cadeia para derivadas e é muito útil em provas porque evita contas longas: integrar \sin de uma função linear em x -cos dessa função dividido pelo coeficiente da variável.
Vou aplicar essa ideia com uma substituição explícita para ficar bem didático.

Passo 3

Fazemos a substituição u=\dfrac{x}{2}. Agora calculemos du em termos de dx:
u=\frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{2}\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = 2\,du.
Essa transformação troca a variável x por u e simplifica a integral porque a parte dentro do seno fica simplesmente u.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}\frac{x}{2}\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot (2\,du) = 2\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Agora usamos a integral básica de seno: para qualquer variável u,
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.
Portanto
2\int \operatorname{sen}(u)\,du = 2\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -2\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando para a variável original x (substituição inversa u=\tfrac{x}{2}):
-2\cos(u) + C = -2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Para ter certeza que está certo, faço uma verificação rápida diferenciando: usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left[-2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\right] = -2\cdot\bigl(-\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\bigr)\cdot\frac{1}{2} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right),
que é exatamente a função integranda. Então a primitiva está correta.

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre que aparecer \sin(ax) ou \cos(ax), lembre que a primitiva é -\dfrac{1}{a}\cos(ax) e \dfrac{1}{a}\sin(ax) respectivamente. Se a função dentro do seno for linear em x, a substituição u=ax resolve rapidinho.

Resposta

-2\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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