Calcule as integrais indefinidas abaixo:
;
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que temos de informação. O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
(em notação usual de matemática, ). - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função
tal que . Não esquecer a constante de integração .
Passo 2
Explico o método que vou usar: substituição (a “regra da cadeia” ao contrário). Ideia geral: se tivermos uma função composta
, existe uma fórmula direta para integrar:
porque, lembrando derivadas,
. Aqui
é uma constante (neste problema
). A fórmula é uma consequência direta da regra da cadeia para derivadas e é muito útil em provas porque evita contas longas: integrar
de uma função linear em
dá
cos dessa função dividido pelo coeficiente da variável.
Vou aplicar essa ideia com uma substituição explícita para ficar bem didático.
Passo 3
Fazemos a substituição
. Agora calculemos
em termos de
:
Isolando
obtemos
Essa transformação troca a variável
por
e simplifica a integral porque a parte dentro do seno fica simplesmente
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Agora usamos a integral básica de seno: para qualquer variável
,
Portanto
Passo 5
Voltando para a variável original
(substituição inversa
):
Para ter certeza que está certo, faço uma verificação rápida diferenciando: usando regra da cadeia,
que é exatamente a função integranda. Então a primitiva está correta.
Passo 6
Dica rápida para a prova: sempre que aparecer
ou
, lembre que a primitiva é
e
respectivamente. Se a função dentro do seno for linear em
, a substituição
resolve rapidinho.