Calcule \int sen x \cos x d x por quatro métodos:
a identidade sen (2 x)=2 \operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá\n
  • Pede-se calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen} x \cos x \, d x.\n
  • O enunciado ainda fornece a identidade \displaystyle \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x, que será útil em um dos métodos.\n
  • Resultado esperado: uma primitiva (família de funções) mais constante de integração C.\n

Passo 2

Método 1 — usar a identidade do enunciado (identidade do ângulo duplo)\n
  • A identidade dada é \displaystyle \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x.\n
  • Isolando \operatorname{sen} x\cos x obtemos \displaystyle \operatorname{sen} x\cos x=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).\n
  • Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen} x \cos x \, d x = \int \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)\, d x = \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\, d x.
  • Usamos a fórmula básica de primitiva: se a é constante então \displaystyle \int \operatorname{sen}(a x)\, d x = -\frac{1}{a}\cos(a x)+C. Aqui a=2.\n
  • Aplicando:
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\, d x = \tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)+C = -\frac{1}{4}\cos(2x)+C.
  • Conclusão deste método: uma primitiva é \displaystyle -\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C.\n

Passo 3

Método 2 — substituição direta u=\operatorname{sen} x (método da substituição simples)\n
  • Técnica usada: se u = g(x) e du = g'(x)\,dx, então \displaystyle \int g'(x) g(x)\, dx = \int u\, du quando a correspondência for direta.\n
  • Tomamos \displaystyle u=\operatorname{sen} x. Então du=\cos x\, d x.\n
  • A integral fica
\int \operatorname{sen} x \cos x \, d x = \int u\, du.
  • Calcule a primitiva de u: \displaystyle \int u\, du = \frac{u^{2}}{2}+C.\n
  • Voltando a x,
\frac{u^{2}}{2}+C = \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{2}+C.
  • Conclusão deste método: uma primitiva é \displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x + C.\n
  • Observação de compatibilidade: usando a identidade \displaystyle \operatorname{sen}^{2}x=\tfrac{1-\cos(2x)}{2}, tem-se
\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cos(2x),
que difere de -\tfrac{1}{4}\cos(2x) apenas por uma constante \tfrac{1}{4}, logo as primitivas são equivalentes (lembrar que primitiva é única até constante).\n

Passo 4

Método 3 — substituição u=\cos x (outra escolha de substituição)\n
  • Tomamos \displaystyle u=\cos x. Então du=-\operatorname{sen} x\, d x, ou seja \operatorname{sen} x\, d x = -du.\n
  • A integral fica
\int \operatorname{sen} x \cos x \, d x = \int \cos x \cdot \operatorname{sen} x \, d x = \int u\cdot(-du) = -\int u\, du.
  • Calcule a primitiva: -\int u\, du = -\frac{u^{2}}{2}+C.\n
  • Voltando a x,
-\frac{u^{2}}{2}+C = -\frac{\cos^{2}x}{2}+C.
  • Conclusão deste método: uma primitiva é \displaystyle -\frac{1}{2}\cos^{2}x + C.\n
  • Verificação de compatibilidade: usando \displaystyle \cos^{2}x=\tfrac{1+\cos(2x)}{2},
-\frac{1}{2}\cos^{2}x = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\cos(2x)}{2} = -\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cos(2x),
que difere de -\tfrac{1}{4}\cos(2x) por uma constante -\tfrac{1}{4}, então as primitivas são equivalentes.\n

Passo 5

Método 4 — integração por partes (mostrando uma alternativa interessante)\n
  • Fórmula de integração por partes: \displaystyle \int u\, dv = u v - \int v\, du.\n
  • Escolha conveniente: deixe u=\operatorname{sen} x e dv=\cos x\, d x. Assim du=\cos x\, d x e v=\operatorname{sen} x (porque \int \cos x\, dx=\operatorname{sen} x).\n
  • Aplicando a fórmula:
\int \operatorname{sen} x \cos x \, d x = \operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x \cdot \cos x \, d x.
  • Ou seja, se denote I=\displaystyle \int \operatorname{sen} x \cos x \, d x, obtemos
I = \operatorname{sen}^{2}x - I.
  • Passo algébrico: somando I aos dois lados resulta 2I=\operatorname{sen}^{2}x.\n
  • Portanto I=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}x}{2}+C.\n
  • Conclusão deste método: chegamos novamente a \displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x + C, igual ao método da substituição u=\operatorname{sen} x.\n

Passo 6

Resumo e dicas para prova\n
  • Todas as quatro abordagens chegam a primitivas equivalentes (diferença apenas na constante de integração): formas úteis para memorizar são\n - \displaystyle -\frac{1}{4}\cos(2x)+C,\n - \displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x + C,\n - \displaystyle -\frac{1}{2}\cos^{2}x + C.\n- Dica rápida: se vir um produto \operatorname{sen} x\cos x, pensar na identidade do ângulo duplo é a forma mais rápida; substituições u=\operatorname{sen} x ou u=\cos x também são diretas; integração por partes é desnecessária aqui, mas serve como verificação elegante.\n- Motivação prática: em prova, aplicar imediatamente \operatorname{sen} x\cos x=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) e integrar usando a fórmula de \int \operatorname{sen}(a x)\, dx costuma ser a via mais curta.\n

Resposta

-\dfrac{1}{4}\cos(2x)+C\n
\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}^{2}x+C\n
-\dfrac{1}{2}\cos^{2}x+C

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