Calcule
sen
por quatro métodos:
a identidade sen
a identidade sen
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá\n
- Pede-se calcular a integral indefinida
.\n - O enunciado ainda fornece a identidade
, que será útil em um dos métodos.\n - Resultado esperado: uma primitiva (família de funções) mais constante de integração
.\n
Passo 2
Método 1 — usar a identidade do enunciado (identidade do ângulo duplo)\n
- A identidade dada é
.\n - Isolando
obtemos .\n - Substituindo na integral:
- Usamos a fórmula básica de primitiva: se
é constante então . Aqui .\n - Aplicando:
- Conclusão deste método: uma primitiva é
.\n
Passo 3
Método 2 — substituição direta
(método da substituição simples)\n
- Técnica usada: se
e , então quando a correspondência for direta.\n - Tomamos
. Então .\n - A integral fica
- Calcule a primitiva de
: \n - Voltando a
,
- Conclusão deste método: uma primitiva é
.\n - Observação de compatibilidade: usando a identidade
, tem-se
que difere de
apenas por uma constante
, logo as primitivas são equivalentes (lembrar que primitiva é única até constante).\n
Passo 4
Método 3 — substituição
(outra escolha de substituição)\n
- Tomamos
. Então , ou seja .\n - A integral fica
- Calcule a primitiva:
.\n - Voltando a
,
- Conclusão deste método: uma primitiva é
\n - Verificação de compatibilidade: usando
,
que difere de
por uma constante
, então as primitivas são equivalentes.\n
Passo 5
Método 4 — integração por partes (mostrando uma alternativa interessante)\n
- Fórmula de integração por partes:
.\n - Escolha conveniente: deixe
e . Assim e (porque ).\n - Aplicando a fórmula:
- Ou seja, se denote
, obtemos
- Passo algébrico: somando
aos dois lados resulta .\n - Portanto
.\n - Conclusão deste método: chegamos novamente a
, igual ao método da substituição .\n
Passo 6
Resumo e dicas para prova\n
- Todas as quatro abordagens chegam a primitivas equivalentes (diferença apenas na constante de integração): formas úteis para memorizar são\n -
,\n - ,\n - .\n- Dica rápida: se vir um produto , pensar na identidade do ângulo duplo é a forma mais rápida; substituições ou também são diretas; integração por partes é desnecessária aqui, mas serve como verificação elegante.\n- Motivação prática: em prova, aplicar imediatamente e integrar usando a fórmula de costuma ser a via mais curta.\n