Em cada uma das equações de I a III, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em \mathrm{t}=0,1 ; 0,2 ; 0,3 e 0,4 .
(I) \quad y^{\prime}=3+t-y ; \mathrm{y} 0=1
Use o método de Euler com $\mathrm{h}=0,025.

Passo 1

O problema pede para aproximar a solução do problema de valor inicial
y' = 3 + t - y,\quad y(0)=1
nos instantes t=0,1, 0,2, 0,3 e 0,4, usando o método de Euler explícito com passo h=0,025. Vamos precisar da fórmula de Euler para EDOs de 1ª ordem:
y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde aqui f(t,y)=3+t-y.

Passo 2

Aplicando f(t_n,y_n)=3+t_n - y_n e h=0,025, a recorrência fica
y_{n+1} = y_n + 0,025\bigl(3 + t_n - y_n\bigr) =0,975\,y_n +0,025\,t_n +0,075.
Partimos de t_0=0, y_0=1 e definimos t_n = n\cdot0,025.

Passo 3

Quatro iterações (até t_4=0,1):
\begin{aligned} y_1 &=1+0,025\,(3+0 -1)=1,05,\\\ y_2 &=1,05+0,025\,(3+0,025-1,05)\approx1,099375,\\\ y_3 &=1,099375+0,025\,(3+0,05-1,099375)\approx1,148141,\\\ y_4 &=1,148141+0,025\,(3+0,075-1,148141)\approx1,196312. \end{aligned}
Logo, y(0,1)\approx y_4=1,19631.

Passo 4

Mais quatro iterações (até t_8=0,2):
\begin{aligned} y_5 &=y_4+0,025\,(3+0,1 -y_4)\approx1,243904,\\\ y_6 &\approx1,290932,\quad y_7\approx1,337408,\quad y_8\approx1,383348. \end{aligned}
Logo, y(0,2)\approx y_8=1,38335.

Passo 5

Próximas quatro iterações (até t_{12}=0,3):
\begin{aligned} y_9 &\approx1,428764,\\\ y_{10}&\approx1,473670,\\\ y_{11}&\approx1,518079,\\\ y_{12}&\approx1,562002. \end{aligned}
Logo, y(0,3)\approx y_{12}=1,56200.

Passo 6

Últimas quatro iterações (até t_{16}=0,4):
\begin{aligned} y_{13}&\approx1,605452,\\\ y_{14}&\approx1,648440,\\\ y_{15}&\approx1,690979,\\\ y_{16}&\approx1,733080. \end{aligned}
Logo, y(0,4)\approx y_{16}=1,73308.

Resposta

y(0,1)\approx1,19631 y(0,2)\approx1,38335 y(0,3)\approx1,56200 y(0,4)\approx1,73308

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