Considere o sistema linear A x=b em que:
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\\\ 2 & 4 & -1 & 0 \\\\ 5 & 1 & 1 & 1\end{array}\right] e b=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 9 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right].
(a) Monte o esquema iterativo para o método de Gauss-Jacobi de modo que a convergência do processo seja garantida. Justifique.
(b) Realize duas iterações do método de Gauss-Jacobi a partir de \chi^{(0)}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema A x=b com
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 4\\\\ 2 & 4 & -1 & 0\\\\ 5 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\\\ 9\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},
pede (a) montar o esquema de Gauss–Jacobi garantindo convergência e justificar, e (b) fazer duas iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0,0)^{\top}. Para garantir convergência pelo critério de dominância diagonal, vamos permutar as incógnitas de modo que a matriz resultante seja estritamente diagonal dominante.

Passo 2

Identificamos em cada linha o coeficiente de maior módulo e montamos uma permutação das colunas para torná-la estritamente diagonal dominante:
Linha 1: maior \lvert a_{1,3}\rvert=4 → pivô na coluna 3
Linha 2: maior \lvert a_{2,4}\rvert=4 → pivô na coluna 4
Linha 3: maior \lvert a_{3,2}\rvert=4 → pivô na coluna 2
Linha 4: maior \lvert a_{4,1}\rvert=5 → pivô na coluna 1
Isso define a permutação de colunas P=[3,4,2,1]. Se definirmos a nova incógnita
y=\bigl(x_3,\;x_4,\;x_2,\;x_1\bigr)^{\top},
o sistema fica A'\,y=b com
A'=\bigl[a_{*,3}\;a_{*,4}\;a_{*,2}\;a_{*,1}\bigr] =\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 4 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 4 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Em cada linha de A' o elemento diagonal em módulo é 4,4,4 e 5, e a soma dos demais elementos em cada linha é 3,3,3 e 3 respect., logo
|a'_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a'_{ij}|,\quad i=1,\dots,4,
ou seja, A' é estritamente diagonal dominante e garante convergência do iterativo de Jacobi.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração de Jacobi para y=A'^{-1}(b-(A'-D')y)\). Isolando cada componente: \[\begin{cases} y_1^{(k+1)} =\dfrac{1}{4}\bigl(2 - y_2^{(k)} - y_3^{(k)} - y_4^{(k)}\bigr),\\[1em] y_2^{(k+1)} =\dfrac{1}{4}\bigl(9 - 2\,y_1^{(k)} - y_3^{(k)}\bigr),\\[1em] y_3^{(k+1)} =\dfrac{1}{4}\bigl(2 + y_1^{(k)} - 2\,y_4^{(k)}\bigr),\\[1em] y_4^{(k+1)} =-\dfrac{1}{5}\bigl(y_1^{(k)} + y_2^{(k)} + y_3^{(k)}\bigr). \end{cases}
Como y\] e \(x estão ligados por \;y=(x_3,x_4,x_2,x_1)^{\top}, depois de cada iteração recuperamos
x_1=y_4,\quad x_2=y_3,\quad x_3=y_1,\quad x_4=y_2.]

Passo 4

Partindo de y^{(0)}=(0,0,0,0)^{\top}, calculamos y^{(1)} e y^{(2)}:
Para k=0:
y_1^{(1)}=\frac{2-0-0-0}{4}=0{,}5,\quad y_2^{(1)}=\frac{9-0-0}{4}=2{,}25,\quad y_3^{(1)}=\frac{2+0-0}{4}=0{,}5,\quad y_4^{(1)}=-\frac{0+0+0}{5}=0.
Para k=1:
y_1^{(2)}=\frac{2-2{,}25-0{,}5-0}{4}=-0{,}1875,\quad y_2^{(2)}=\frac{9-2\cdot0{,}5-0{,}5}{4}=1{,}875,
y_3^{(2)}=\frac{2+0{,}5-2\cdot0}{4}=0{,}625,\quad y_4^{(2)}=-\frac{0{,}5+2{,}25+0{,}5}{5}=-0{,}65.
Em seguida reconvertemos em x^{(1)} e x^{(2)}:
x^{(1)}=\bigl(y_4^{(1)},y_3^{(1)},y_1^{(1)},y_2^{(1)}\bigr)^{\top} =(0,\;0{,}5,\;0{,}5,\;2{,}25)^{\top},
x^{(2)}=\bigl(y_4^{(2)},y_3^{(2)},y_1^{(2)},y_2^{(2)}\bigr)^{\top} =(-0{,}65,\;0{,}625,\;-0{,}1875,\;1{,}875)^{\top}.

Resposta

(a) A permutação de incógnitas
y=(x_3,x_4,x_2,x_1)^{\top}
leva a
A'=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 4 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 4 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix},
que é estritamente diagonal dominante, garantindo \rho(D'^{-1}(L'+U'))<1\) e, portanto, convergência de Jacobi. O esquema iterativo é \[\begin{cases} y_1^{(k+1)} =\dfrac{2 - y_2^{(k)} - y_3^{(k)} - y_4^{(k)}}{4},\\[0.5em] y_2^{(k+1)} =\dfrac{9 - 2\,y_1^{(k)} - y_3^{(k)}}{4},\\[0.5em] y_3^{(k+1)} =\dfrac{2 + y_1^{(k)} - 2\,y_4^{(k)}}{4},\\[0.5em] y_4^{(k+1)} =-\dfrac{y_1^{(k)} + y_2^{(k)} + y_3^{(k)}}{5}, \end{cases}
com x\] recuperado por \(x_1=y_4,\;x_2=y_3,\;x_3=y_1,\;x_4=y_2.
(b) As duas primeiras iterações dão
x^{(1)}=(0,\;0{,}5,\;0{,}5,\;2{,}25)^{\top}, \quad x^{(2)}=(-0{,}65,\;0{,}625,\;-0{,}1875,\;1{,}875)^{\top}.]

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