Considere o sistema linear A x=b em que: A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\\\ 2 & 4 & -1 & 0 \\\\ 5 & 1 & 1 & 1\end{array}\right] e b=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 9 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right].
(a) Monte o esquema iterativo para o método de Gauss-Jacobi de modo que a convergência do processo seja garantida. Justifique.
(b) Realize duas iterações do método de Gauss-Jacobi a partir de \chi^{(0)}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}.
pede (a) montar o esquema de Gauss–Jacobi garantindo convergência e justificar, e (b) fazer duas iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0,0)^{\top}. Para garantir convergência pelo critério de dominância diagonal, vamos permutar as incógnitas de modo que a matriz resultante seja estritamente diagonal dominante.
Passo 2
Identificamos em cada linha o coeficiente de maior módulo e montamos uma permutação das colunas para torná-la estritamente diagonal dominante:
Linha 1: maior \lvert a_{1,3}\rvert=4 → pivô na coluna 3
Linha 2: maior \lvert a_{2,4}\rvert=4 → pivô na coluna 4
Linha 3: maior \lvert a_{3,2}\rvert=4 → pivô na coluna 2
Linha 4: maior \lvert a_{4,1}\rvert=5 → pivô na coluna 1
Isso define a permutação de colunas P=[3,4,2,1]. Se definirmos a nova incógnita