Exercício 3. Calcule as integrais duplas abaixo.
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
. Informações extraídas do enunciado:
- A equação
é equivalente a com ; portanto trata-se de um semicírculo de raio (metade do disco de raio ). - O enunciado menciona também o eixo
(reta ), então a região é o semicírculo de raio limitado pelo círculo e pela reta . Em outras palavras, é a metade do disco de raio contida acima ou abaixo do eixo — na prática trata-se de uma metade do disco de raio (qualquer uma das duas metades tem o mesmo valor da integral por simetria). - A função integranda é
.
Passo 2
Escolher o método de integração: como a integranda depende de
e a região é circular (metade de um disco de raio
), é muito conveniente usar coordenadas polares. Dica rápida sobre coordenadas polares (aula curta):
- Em coordenadas polares usa-se
. - O elemento de área transforma como
(este é o jacobiano da mudança de variável). - A expressão
vira , então .
Passo 3
Determinar os limites em polares para a região
. A região é a metade do disco de raio
. Em polares isso significa:
-
varia de até : . -
varia ao longo de um intervalo de comprimento (metade do círculo). Se a metade for a superior limitada por , então . Se for a metade direita limitada por , então . O resultado final será o mesmo porque o comprimento do intervalo é . Vou usar (metade superior).
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares usando o que aprendemos:
Passo 5
Separar a integral em parte radial e angular quando for possível. A integranda é produto de uma função de
pelo jacobiano
, e não depende de
, então:
A parte angular é imediata:
.
Passo 6
Calcular a integral radial
. Fazer a substituição padrão:
- Seja
. Então , logo . - Quando
temos ; quando temos .
Assim
Passo 7
Executar a integral exponencial:
Passo 8
Combinar a parte angular
com a radial
: