Exercício 3. Calcule as integrais duplas abaixo.
\int_{y} \int_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d A, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=\sqrt{4-y^{2}} e o eixo x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA,
onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=\sqrt{4-y^{2}} e o eixo x. Informações extraídas do enunciado:
  • A equação x=\sqrt{4-y^{2}} é equivalente a x^{2}+y^{2}=4 com x\ge0; portanto trata-se de um semicírculo de raio 2 (metade do disco de raio 2).
  • O enunciado menciona também o eixo x (reta y=0), então a região D é o semicírculo de raio 2 limitado pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 e pela reta y=0. Em outras palavras, D é a metade do disco de raio 2 contida acima ou abaixo do eixo x — na prática trata-se de uma metade do disco de raio 2 (qualquer uma das duas metades tem o mesmo valor da integral por simetria).
  • A função integranda é e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 2

Escolher o método de integração: como a integranda depende de x^{2}+y^{2} e a região é circular (metade de um disco de raio 2), é muito conveniente usar coordenadas polares. Dica rápida sobre coordenadas polares (aula curta):
  • Em coordenadas polares usa-se \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\;.
  • O elemento de área transforma como \;dA = r\,dr\,d\theta\; (este r é o jacobiano da mudança de variável).
  • A expressão x^{2}+y^{2} vira \;r^{2}\;, então e^{-x^{2}-y^{2}}=e^{-r^{2}}.

Passo 3

Determinar os limites em polares para a região D. A região é a metade do disco de raio 2. Em polares isso significa:
  • r varia de 0 até 2: \;0\le r\le 2\;.
  • \theta varia ao longo de um intervalo de comprimento \pi (metade do círculo). Se a metade for a superior limitada por y=0, então \;0\le\theta\le\pi\;. Se for a metade direita limitada por x=0, então -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}. O resultado final será o mesmo porque o comprimento do intervalo \theta é \pi. Vou usar \;0\le\theta\le\pi\; (metade superior).

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares usando o que aprendemos:
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separar a integral em parte radial e angular quando for possível. A integranda é produto de uma função de r pelo jacobiano r, e não depende de \theta, então:
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\,dr\,d\theta = \left(\int_{\theta=0}^{\pi} d\theta\right)\left(\int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\,dr\right).
A parte angular é imediata: \int_{0}^{\pi} d\theta = \pi.

Passo 6

Calcular a integral radial \int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\,dr. Fazer a substituição padrão:
  • Seja u=r^{2}. Então du=2r\,dr, logo r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Quando r=0 temos u=0; quando r=2 temos u=4.
    Assim
\int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\,dr = \int_{u=0}^{4} e^{-u}\cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{4} e^{-u}\,du.

Passo 7

Executar a integral exponencial:
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{4} e^{-u}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{4} = \tfrac{1}{2}\bigl(-e^{-4} + e^{0}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Passo 8

Combinar a parte angular \pi com a radial \tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr):
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA = \pi \cdot \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr) = \tfrac{\pi}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\bigl(1-e^{-4}\bigr)

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