Encontre os três vetores unitários, \vec{T}, \vec{N}, \vec{B}, no ponto ( 1,0,0 ), à curva
\vec{r}(t)=\cos t \hat{i}+\operatorname{sen} t \hat{j}+\ln \cos t \hat{k}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pedido: encontrar os três vetores unitários \vec{T},\\ \vec{N},\\ \vec{B} (vetores de Frenet) no ponto (1,0,0) da curva.
  • A curva fornecida é
\vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\operatorname{sen} t\,\hat{j}+\ln\!\big(\cos t\big)\,\hat{k}.
  • Informação útil imediata: preciso primeiro achar o(s) valor(es) de t que geram o ponto (1,0,0) na curva para depois avaliar os vetores naquele(s) t.

Passo 2

Determinar o parâmetro t correspondente ao ponto (1,0,0).
  • Das coordenadas da curva temos as três igualdades simultâneas:
\cos t = 1,\qquad \operatorname{sen} t = 0,\qquad \ln\!\big(\cos t\big)=0.
  • A condição \cos t=1 e \operatorname{sen} t=0 é satisfeita por t=0+2\pi k. Tomamos o valor principal t=0. Verificação: \ln(\cos 0)=\ln 1=0. Logo o ponto corresponde a t=0.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) e \vec{r}\,''(t) (derivadas necessárias).
  • Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\big(\cos t\big)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen} t\big)\,\hat{j}+\frac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big)\,\hat{k}.
  • As derivadas conhecidas:
\frac{d}{dt}\cos t=-\operatorname{sen} t,\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\cos t.
  • Para a terceira componente use a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\ln(\cos t)=\frac{1}{\cos t}\cdot(-\operatorname{sen} t)=-\tan t.
  • Portanto
\vec{r}\,'(t)=-\operatorname{sen} t\,\hat{i}+\cos t\,\hat{j}-\tan t\,\hat{k}.
  • Seguindo, a segunda derivada:
\vec{r}\,''(t)=-\cos t\,\hat{i}-\operatorname{sen} t\,\hat{j}-\operatorname{sec}^{2}t\,\hat{k},
pois \dfrac{d}{dt}(-\tan t)=-\operatorname{sec}^{2}t.

Passo 4

Avaliar \vec{r}\,'(t) e \vec{r}\,''(t) em t=0.
  • Substituindo t=0:
\operatorname{sen}0=0,\qquad \cos0=1,\qquad \tan0=0,\qquad \operatorname{sec}^{2}0=1.
  • Logo
\vec{r}\,'(0)=0\cdot\hat{i}+1\cdot\hat{j}+0\cdot\hat{k}=\hat{j},
\vec{r}\,''(0)=-1\cdot\hat{i}-0\cdot\hat{j}-1\cdot\hat{k}=-\hat{i}-\hat{k}.

Passo 5

Calcular o vetor tangente unitário \vec{T} em t=0.
  • Definição: \vec{T}=\dfrac{\vec{r}\,'}{\|\vec{r}\,'\|}. Primeiro a velocidade (norma de \vec{r}\,'):
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t)^{2}+(-\tan t)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+\tan^{2}t}=\sqrt{1+\tan^{2}t}=\operatorname{sec} t.
  • Em t=0 temos \|\vec{r}\,'(0)\|=\operatorname{sec} 0=1. Assim
\vec{T}(0)=\frac{\vec{r}\,'(0)}{\|\vec{r}\,'(0)\|}=\frac{\hat{j}}{1}=\hat{j}.

Passo 6

Calcular o vetor binormal \vec{B} em t=0 usando o produto vetorial de \vec{r}\,' e \vec{r}\,''.
  • Fórmula prática para \vec{B}:
\vec{B}=\frac{\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''}{\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\|}.
  • Em t=0 usamos \vec{r}\,'(0)=\hat{j} e \vec{r}\,''(0)=-\hat{i}-\hat{k}. Calcule o produto vetorial:
\vec{r}\,'(0)\times\vec{r}\,''(0)=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}=-\hat{i}+0\cdot\hat{j}+1\cdot\hat{k}=-\hat{i}+\hat{k}.
  • Norma desse vetor:
\|-\hat{i}+\hat{k}\|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Portanto
\vec{B}(0)=\frac{-\hat{i}+\hat{k}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}.]

Passo 7

Calcular o vetor normal principal \vec{N} em t=0 e verificar ortogonalidade.
  • Uma forma prática e numérica de obter \vec{N} é usar \vec{N}=\vec{B}\times\vec{T} (já que \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\} é um sistema ortonormal de mão direita).
  • Usando \vec{B}(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{k} e \vec{T}(0)=\hat{j}:
\vec{N}(0)=\vec{B}(0)\times\vec{T}(0) =\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} =-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}+0\cdot\hat{j}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}.
  • Simplificando:
\vec{N}(0)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}.
  • Verificações rápidas (opcionales mas educativas): \vec{N}(0) é unitário e ortogonal a \vec{T}(0) e a \vec{B}(0):
\|\vec{N}(0)\|=\sqrt{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}=1,\qquad \vec{N}(0)\cdot\vec{T}(0)=0,\qquad \vec{N}(0)\cdot\vec{B}(0)=0.]

Resposta

\vec{T}=\hat{j}
\vec{N}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}
\vec{B}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}

Exercícios relacionados