Para cada uma das equações a seguir:
  • Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
  • Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
    Item 4.
    \left(2 x y-y^{2}\right) d x+x^{2} d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(2 x y-y^{2}\right)\,d x+x^{2}\,d y=0
O que é pedido:
  • Classificar a equação: dizer se ela é separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata (pode ser mais de uma categoria, explicar por que).
  • Determinar a solução geral da equação diferencial.
Informações explícitas que temos (vou escrever em notação padrão para equações diferenciais):
M(x,y)=2xy-y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2},
e a equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Testar se a equação é exata. Uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
Calcule:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy-y^{2})=2x-2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
Como \partial M/\partial y=2x-2y\neq2x=\partial N/\partial x (salvo no caso especial y=0), a equação NÃO é exata.

Passo 3

Testar homogeneidade. Uma função F(x,y) é homogênea de grau k se F(tx,ty)=t^{k}F(x,y). Para a equação ser homogênea no sentido usual (nos termos de M e N), M e N devem ser homogêneos do mesmo grau.
Verifico os graus:
M(x,y)=2xy-y^{2}\quad\text{tem termos de grau }2, \qquad N(x,y)=x^{2}\quad\text{tem grau }2.
Ambos são homogêneos de grau 2. Portanto a equação é HOMOGÊNEA.
Observação útil (não resolutiva ainda): equações homogêneas M\,dx+N\,dy=0 podem ser tratadas pela substituição \,y=vx (ou x=uy), que transforma a equação numa separável em v e x. Além disso, ao rearranjar a equação como dy/dx=\cdots nota-se que ela também pode ser escrita na forma de uma equação de Bernoulli. Ou seja, a equação é também uma equação de Bernoulli (com n=2). Vou seguir o caminho da substituição y=vx porque é direto e didático.

Passo 4

Explicar e aplicar a substituição y=vx.
Por definição, colocar
y=vx,
onde v=v(x) é uma nova função. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra do produto):
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Também vale dy = (v + x\,dv/dx)\,dx, se quiser trabalhar em forma diferencial.
Agora substituímos y=vx e dy=(v+x\,dv/dx)\,dx na equação original escrita como (2xy-y^2)\,dx + x^2\,dy = 0.

Passo 5

Fazer a substituição e simplificar passo a passo.
Substituindo y=vx:
2xy - y^{2} = 2x(vx) - (vx)^{2} = 2v x^{2} - v^{2} x^{2} = x^{2}(2v - v^{2}).
Também
x^{2}\,dy = x^{2}\bigl(v + x\frac{dv}{dx}\bigr)\,dx = x^{2}v\,dx + x^{3}\frac{dv}{dx}\,dx.
Colocando tudo na equação:
\bigl[x^{2}(2v - v^{2})\bigr]\,dx + \bigl[x^{2}v\,dx + x^{3}\frac{dv}{dx}\,dx\bigr]=0.
Somando os termos em dx:
x^{2}(2v - v^{2})\,dx + x^{2}v\,dx + x^{3}\frac{dv}{dx}\,dx = 0.
Agrupando os termos com dx:
x^{2}\bigl(2v - v^{2} + v\bigr)\,dx + x^{3}\frac{dv}{dx}\,dx = 0.
Simplificando 2v - v^{2} + v = 3v - v^{2}:
x^{2}(3v - v^{2})\,dx + x^{3}\frac{dv}{dx}\,dx = 0.
Dividindo toda a expressão por x^{2}\,dx (assumindo x\neq0; trataremos x=0 separadamente se necessário):
3v - v^{2} + x\frac{dv}{dx} = 0.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=-(3v - v^{2}) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-3v}{x}.

Passo 6

Separar variáveis e integrar. A equação obtida é separável em v e x:
\frac{dv}{v^{2}-3v}=\frac{dx}{x}.
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro faça a decomposição em frações parciais do lado esquerdo. Note que
\frac{1}{v^{2}-3v}=\frac{1}{v(v-3)}.
Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{v(v-3)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{v-3}.
Multiplicando por v(v-3):
1=A(v-3)+Bv=(A+B)v-3A.
Igualando coeficientes: A+B=0 e -3A=1. Logo A=-\tfrac{1}{3} e B=\tfrac{1}{3}.
Portanto
\frac{1}{v^{2}-3v}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v-3}.
Integrando:
\int\frac{dv}{v^{2}-3v}=\int\left(-\frac{1}{3}\frac{1}{v}+\frac{1}{3}\frac{1}{v-3}\right)dv =\frac{1}{3}\ln\left|\frac{v-3}{v}\right| + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
Do lado direito:
\int\frac{dx}{x}=\ln|x| + C_{2}.
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só): obtemos
\frac{1}{3}\ln\left|\frac{v-3}{v}\right|=\ln|x| + C,
onde C=C_{2}-C_{1} é constante arbitrária.
Multiplicando por 3:
\ln\left|\frac{v-3}{v}\right|=3\ln|x| + 3C = \ln|x^{3}| + \ln|e^{3C}|.
Exponenciando e juntando as constantes em uma única constante arbitrária K (podemos permitir K real não nulo, sinal absorvido):
\left|\frac{v-3}{v}\right| = K x^{3}.
Removendo o valor absoluto pela constante arbitrária (escrevendo K que pode ser positivo ou negativo), temos a forma implícita
\frac{v-3}{v}=K x^{3}.

Passo 7

Voltar à variável original y. Lembrando v=y/x, substituímos:
\frac{\tfrac{y}{x}-3}{\tfrac{y}{x}}=K x^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-3x}{y}=K x^{3}.
Isto dá
y-3x = K x^{3} y.
Isolando y:
y(1-K x^{3})=3x \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{3x}{1-K x^{3}}.
Aqui K é uma constante arbitrária real. Esta é a forma explícita da família de soluções obtida da integração.
Há também a solução singular y\equiv0 (constante zero) que satisfaz a equação original e não aparece na família explícita acima (porque para y\equiv0 a forma y=3x/(1-Kx^{3}) não dá y\equiv0 em todo o domínio). Portanto a descrição completa das soluções inclui a solução trivial y=0 e a família y=\dfrac{3x}{1-Kx^{3}} para constante K.

Passo 8

Resumo e observações finais (curtinho, encorajador):
  • A equação é homogênea (grau 2) e pode ser resolvida pela substituição y=vx. Também pode ser vista como uma equação de Bernoulli ao rearranjar em dy/dx, mas a via de y=vx leva direto a uma forma separável.
  • A solução geral não-trivial é y=\dfrac{3x}{1-Kx^{3}} com K constante arbitrária, junto com a solução singular y\equiv0.

Resposta

Homogênea (grau 2); não exata; também pode ser escrita como equação de Bernoulli (com n=2), não linear, não separável na forma original.
Solução geral: y=0 ou \displaystyle y=\frac{3x}{1-Kx^{3}}, com K\in\mathbb{R} (constante arbitrária).

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