Como \partial M/\partial y=2x-2y\neq2x=\partial N/\partial x (salvo no caso especial y=0), a equação NÃO é exata.
Passo 3
Testar homogeneidade. Uma função F(x,y) é homogênea de grau k se F(tx,ty)=t^{k}F(x,y). Para a equação ser homogênea no sentido usual (nos termos de M e N), M e N devem ser homogêneos do mesmo grau.
Verifico os graus:
M(x,y)=2xy-y^{2}\quad\text{tem termos de grau }2, \qquad N(x,y)=x^{2}\quad\text{tem grau }2.
Ambos são homogêneos de grau 2. Portanto a equação é HOMOGÊNEA.
Observação útil (não resolutiva ainda): equações homogêneas M\,dx+N\,dy=0 podem ser tratadas pela substituição \,y=vx (ou x=uy), que transforma a equação numa separável em v e x. Além disso, ao rearranjar a equação como dy/dx=\cdots nota-se que ela também pode ser escrita na forma de uma equação de Bernoulli. Ou seja, a equação é também uma equação de Bernoulli (com n=2). Vou seguir o caminho da substituição y=vx porque é direto e didático.
Passo 4
Explicar e aplicar a substituição y=vx.
Por definição, colocar
y=vx,
onde v=v(x) é uma nova função. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra do produto):
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Também vale dy = (v + x\,dv/dx)\,dx, se quiser trabalhar em forma diferencial.
Agora substituímos y=vx e dy=(v+x\,dv/dx)\,dx na equação original escrita como (2xy-y^2)\,dx + x^2\,dy = 0.
Aqui K é uma constante arbitrária real. Esta é a forma explícita da família de soluções obtida da integração.
Há também a solução singular y\equiv0 (constante zero) que satisfaz a equação original e não aparece na família explícita acima (porque para y\equiv0 a forma y=3x/(1-Kx^{3}) não dá y\equiv0 em todo o domínio). Portanto a descrição completa das soluções inclui a solução trivial y=0 e a família y=\dfrac{3x}{1-Kx^{3}} para constante K.
Passo 8
Resumo e observações finais (curtinho, encorajador):
A equação é homogênea (grau 2) e pode ser resolvida pela substituição y=vx. Também pode ser vista como uma equação de Bernoulli ao rearranjar em dy/dx, mas a via de y=vx leva direto a uma forma separável.
A solução geral não-trivial é y=\dfrac{3x}{1-Kx^{3}} com K constante arbitrária, junto com a solução singular y\equiv0.
Resposta
Homogênea (grau 2); não exata; também pode ser escrita como equação de Bernoulli (com n=2), não linear, não separável na forma original.
Solução geral: y=0 ou \displaystyle y=\frac{3x}{1-Kx^{3}}, com K\in\mathbb{R} (constante arbitrária).