Para cada uma das escolhas de A e b a seguir, determine se b pertence ao espaço coluna de A e diga se o sistema Ax=b é ou não compatível.
A=(ll2 & 1 3 & 4), b=binom46

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & 1 3 & 4
e o vetor
b = 4 6,
pede para verificar se b pertence ao espaço coluna de A e se o sistema A x = b é compatível. Vamos usar conceitos de determinante, invertibilidade e combinação linear de colunas.

Passo 2

Calculemos o determinante de A:
det(A) = 2cdot4 - 3cdot1 = 8 - 3 = 5 neq 0
Como det(A)neq0, A é invertível e sua coluna gera todo R^2. Logo, qualquer vetor de R^2 — em particular b — pertence ao espaço coluna de A.

Passo 3

Para ilustrar que b é combinação linear das colunas de A, escrevamos
b = c123 + c214
e formemos o sistema para (c1,c2):
2c1 + c2 = 4, 3c1 + 4c2 = 6
Da primeira equação vem c2 = 4 - 2c1. Substituindo na segunda:
3c1 + 4(4 - 2c1) = 6 Longrightarrow 3c1 + 16 - 8c1 = 6 Longrightarrow -5c1 = -10 Longrightarrow c1 = 2,
e então c2 = 4 - 2cdot2 = 0. Assim
b = 223 + 014,
confirmando que b está no espaço coluna.

Passo 4

Como A é invertível, o sistema !A x = b é sempre compatível e possui solução única dada por
x = A^-1b (ou diretamente x = (c1,c2) = (2,0))

Resposta

b pertence ao espaço coluna de A e o sistema !A x = b é compatível (única solução x = (2,0)).

Exercícios relacionados