Seja T(x, y, z)=(x-y+2 z, 2 x+y,-2 y+2 z) então :
a) Seja (a, b, c) in R^3. Quais são as condições sobre a, b, c tais que (a, b, c) in I(T) ?, e calcule dimK I(T).
b) Seja (a, b, c) in R^3. Quais são as condições sobre a, b, c tais que (a, b, c) in N(T) ?, e calcule dimK N(T).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - y + 2z,;2x + y,;-2y + 2z,)
e pede:
a) as condições para (a,b,c) pertencer à imagem I(T) e dimK I(T);
b) as condições para (a,b,c) pertencer ao núcleo N(T) e dimK N(T).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica de R^3. Se (x,y,z) é o vetor coluna, então
A = 1 & -1 & 2 2 & 1 & 0 0 & -2 & 2
de modo que T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T.

Passo 3

Para determinar o posto de A, calculamos o determinante:
det(A) = 1cdot1&0-2&2 -(-1)cdot2&00&2 +2cdot2&10&-2 =1cdot(1cdot2-0)+1cdot(2cdot2-0)+2cdot(2cdot(-2)-0) =2+4-8=-2neq0
Como det(A)neq0, concluímos que rank(A)=3 e portanto A é invertível.

Passo 4

Invertibilidade de A implica que T é sobrejetora e injetora. Logo
I(T) = Im(A)=R^3,
isto é, nenhuma restrição sobre (a,b,c): todo vetor de R^3 está na imagem. Além disso
dimK I(T) = rank(A)=3

Passo 5

Para encontrar
Da segunda equação . Substituindo em
e então , . Portanto o único vetor do núcleo é o vetor nulo.

Passo 6

Concluímos
N(T)=(a,b,c)inR^3mid a=b=c=0,
e
dimK N(T)=0

Resposta

a) I(T)=R^3, sem nenhuma condição sobre (a,b,c).
dimK I(T)=3.
b) N(T)=(a,b,c)mid a=b=c=0, ou seja a condição é a=0,;b=0,;c=0.
dimK N(T)=0.

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