Seja
então :
a) Seja
. Quais são as condições sobre
tais que
?, e calcule
.
b) Seja
. Quais são as condições sobre
tais que
?, e calcule
.
a) Seja
b) Seja
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede:
a) as condições para pertencer à imagem
e
;
b) as condições para pertencer ao núcleo
e
.
a) as condições para
b) as condições para
Passo 2
Vamos escrever a matriz de
na base canônica de
. Se
é o vetor coluna, então
de modo que
T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T .
Passo 3
Para determinar o posto de
A , calculamos o determinante:
Como
det(A)neq0 , concluímos que
rank(A)=3 e portanto
A é invertível.
Passo 4
Invertibilidade de
A implica que
T é sobrejetora e injetora. Logo
isto é, nenhuma restrição sobre
(a,b,c) : todo vetor de
R^3 está na imagem. Além disso
Passo 5
Para encontrar
Da segunda equação . Substituindo em
dá
e então
,
. Portanto o único vetor do núcleo é o vetor nulo.
Passo 6
Concluímos
e
Resposta
a)
I(T)=R^3 , sem nenhuma condição sobre
(a,b,c) .
dimK I(T)=3 .
b)
N(T)=(a,b,c)mid a=b=c=0 , ou seja a condição é
a=0,;b=0,;c=0 .
dimK N(T)=0 .