8 Sejam E um espaço vetorial (real) e B=v1, v2, v3 uma base de E. Se T, S: E E são operadores lineares em E tais que:
ll T(v1)=2 v1-3 v2+v3 & S(v1)=3 v1+2 v2 T(v2)=v1+v2 & S(v2)=v1-v2-v3 T(v3)=v2+v3 & S(v3)=v1+v2-2 v3
Determine as seguintes matrizes: [T]B,[S]B,[S circ T]B,[T circ S]B e[T^3-S^2]B.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial real E de dimensão 3 com base B=v1,v2,v3 e dois operadores lineares T,S:EtoE. Precisamos achar as matrizes de T, S, das composições Scirc T e Tcirc S, e do operador T^3 - S^2, tudo na base B. Vamos usar que a coluna j de [T]B (ou [S]B) é justamente as coordenadas de T(vj) (ou S(vj)) em B, e que composição e soma de operadores correspondem a produto e soma de matrizes.

Passo 2

Calculamos [T]B. Como
T(v1)=2v1-3v2+v3, T(v2)=v1+v2, T(v3)=v2+v3,
temos
[T]B = 2 & 1 & 0 -3& 1 & 1 1 & 0 & 1
onde cada coluna é o vetor de coeficientes dos T(vj).

Passo 3

Analogamente, para S:
S(v1)=3v1+2v2, S(v2)=v1-v2-v3, S(v3)=v1+v2-2v3,
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[S]B = 3 & 1 & 1 2 & -1& 1 0 & -1& -2

Passo 4

Para [Scirc T]B=[S]B,[T]B, multiplicamos
3 & 1 & 1 2 & -1& 1 0 & -1& -2 2 & 1 & 0 -3& 1 & 1 1 & 0 & 1 = 4 & 4 & 2 8 & 1 & 0 1 & -1& -3

Passo 5

Para [Tcirc S]B=[T]B,[S]B, calculamos
2 & 1 & 0 -3& 1 & 1 1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 2 & -1& 1 0 & -1& -2 = 8 & 1 & 3 -7& -5& -4 3 & 0 & -1

Passo 6

Para [T^3]B=([T]B)^3, primeiro
[T]B^2 = 2 & 1 & 0 -3& 1 & 1 1 & 0 & 1 ^2 = 1 & 3 & 1 -8& -2& 2 3 & 1 & 1 ,
depois
[T]B^3 = 1 & 3 & 1 -8& -2& 2 3 & 1 & 1 2 & 1 & 0 -3& 1 & 1 1 & 0 & 1 = -6 & 4 & 4 -8 & -10& 0 4 & 4 & 2

Passo 7

Para [S^2]B=([S]B)^2, multiplicamos
3 & 1 & 1 2 & -1& 1 0 & -1& -2 ^2 = 11 & 1 & 2 4 & 2 & -1 -2& 3 & 3

Passo 8

Finalmente
[T^3 - S^2]B = [T^3]B - [S^2]B = -6 & 4 & 4 -8 & -10& 0 4 & 4 & 2 - 11 & 1 & 2 4 & 2 & -1 -2& 3 & 3 = -17 & 3 & 2 -12 & -12& 1 6 & 1 & -1

Resposta

[T]B = 2 & 1 & 0 -3& 1 & 1 1 & 0 & 1 , [S]B = 3 & 1 & 1 2 & -1& 1 0 & -1& -2 ,
[Scirc T]B = 4 & 4 & 2 8 & 1 & 0 1 & -1& -3 , [Tcirc S]B = 8 & 1 & 3 -7& -5& -4 3 & 0 & -1 ,
[T^3 - S^2]B = -17 & 3 & 2 -12 & -12& 1 6 & 1 & -1

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