Para cada uma das escolhas de A e b a seguir, determine se b pertence ao espaço coluna de A e diga se o sistema é ou não compatível. , b=(c5 10 5)
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 2 2 & 4 1 & 2
e o vetor
b = 5 10 5
Queremos verificar se b está no espaço coluna de A e, consequentemente, se o sistema Ax = b é compatível. Para isso, usaremos combinação linear de colunas e o critério de posto para compatibilidade.
Passo 2
As colunas de A são
a1 = 121, a2 = 242
Note que
a2 = 2,a1,
logo as colunas são linearmente dependentes e rank(A) = 1.
Passo 3
Para ver se b pertence ao espaço coluna, buscamos x=(x1,x2)^T tal que
x1,a1 + x2,a2 = b
Isso equivale ao sistema
x1 + 2x2 = 5, 2x1 + 4x2 = 10, x1 + 2x2 = 5
As três equações são idênticas à única condição
x1 + 2x2 = 5
Passo 4
Como existe solução para x1 + 2x2 = 5, concluímos: bul<=t b pertence ao espaço coluna de A. bul<=t rank([Amid b]) = rank(A) = 1, logo o sistema é compatível.
As soluções são infinitas, dadas por
x1 = 5 - 2x2, x2inR
Resposta
b pertence ao espaço coluna de A. O sistema Ax = b é compatível (infinitas soluções).