Para cada uma das escolhas de A e b a seguir, determine se b pertence ao espaço coluna de A e diga se o sistema Ax=b é ou não compatível.
A=(ll1 & 2 2 & 4 1 & 2), b=(c5 10 5)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 2 2 & 4 1 & 2
e o vetor
b = 5 10 5
Queremos verificar se b está no espaço coluna de A e, consequentemente, se o sistema Ax = b é compatível. Para isso, usaremos combinação linear de colunas e o critério de posto para compatibilidade.

Passo 2

As colunas de A são
a1 = 121, a2 = 242
Note que
a2 = 2,a1,
logo as colunas são linearmente dependentes e rank(A) = 1.

Passo 3

Para ver se b pertence ao espaço coluna, buscamos x=(x1,x2)^T tal que
x1,a1 + x2,a2 = b
Isso equivale ao sistema
x1 + 2x2 = 5, 2x1 + 4x2 = 10, x1 + 2x2 = 5
As três equações são idênticas à única condição
x1 + 2x2 = 5

Passo 4

Como existe solução para x1 + 2x2 = 5, concluímos:
bul<=t b pertence ao espaço coluna de A.
bul<=t rank([Amid b]) = rank(A) = 1, logo o sistema é compatível.
As soluções são infinitas, dadas por
x1 = 5 - 2x2, x2inR

Resposta

b pertence ao espaço coluna de A. O sistema Ax = b é compatível (infinitas soluções).

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