5 Seja P3(R) o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais. Mostre que o conjunto B:=1,1-x,(1-x)^2,(1-x)^3 é uma base para P3(R) e calcule [3-2 x+x^2]B.

Passo 1

O enunciado está em P3(R), que é um espaço vetorial de dimensão 4. Queremos mostrar que
B = ,1,;1-x,;(1-x)^2,;(1-x)^3
é uma base e, em seguida, escrever o polinômio p(x)=3-2x+x^2 como combinação linear desses vetores, ou seja, achar l[p(x)r]B.

Passo 2

Para ver que B é base basta notar que são 4 vetores num espaço de dimensão 4 e que são linearmente independentes. Suponha
c0,1 + c1(1-x) + c2(1-x)^2 + c3(1-x)^3 = 0(polinômio nulo) ô
Expandindo em relação à base canônica:
c0 + c1(1-x) + c2(1 - 2x + x^2) + c3(1 - 3x + 3x^2 - x^3)
= (c0+c1+c2+c3) + (-c1-2c2-3c3)x + (c2+3c3)x^2 - c3,x^3 = 0
Como o polinômio é identicamente zero, coeficientes de x^3,x^2,x,1 devem ser zero, levando a
-c3=0, c2+3c3=0, -c1-2c2-3c3=0, c0+c1+c2+c3=0
Dessa sequência obtemos c3=0, depois c2=0, em seguida c1=0 e finalmente c0=0. Logo os vetores são independentes e, como são quatro, formam uma base.

Passo 3

Para achar as coordenadas de p(x)=3-2x+x^2 escrevemos
p(x) = a0,1 + a1(1-x) + a2(1-x)^2 + a3(1-x)^3
Expandindo como antes,
a0+a1+a2+a3 + (-a1-2a2-3a3)x + (a2+3a3)x^2 - a3x^3 = 3 - 2x + x^2

Passo 4

Igualando coeficientes em cada grau:
-,a3 = 0, a2+3a3 = 1, -,a1-2a2-3a3 = -2, a0+a1+a2+a3 = 3
Da primeira linha vem a3=0. Substituindo em seguida:
a2=1, -a1-2cdot1 = -2implies a1=0, a0+0+1+0=3implies a0=2

Resposta

l[,3-2x+x^2r]B = (2,,0,,1,,0)

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