5 Seja
o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais. Mostre que o conjunto
é uma base para
e calcule
.
Passo 1
O enunciado está em
, que é um espaço vetorial de dimensão 4. Queremos mostrar que
é uma base e, em seguida, escrever o polinômio
como combinação linear desses vetores, ou seja, achar
.
Passo 2
Para ver que
é base basta notar que são 4 vetores num espaço de dimensão 4 e que são linearmente independentes. Suponha
Expandindo em relação à base canônica:
Como o polinômio é identicamente zero, coeficientes de
devem ser zero, levando a
Dessa sequência obtemos
, depois
, em seguida
e finalmente
. Logo os vetores são independentes e, como são quatro, formam uma base.
Passo 3
Para achar as coordenadas de
escrevemos
Expandindo como antes,
Passo 4
Igualando coeficientes em cada grau:
Da primeira linha vem
a3=0 . Substituindo em seguida: