Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(c) V=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \mid 3 a_{3}=a_{2}-a_{0}\right\},

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = \{\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \mid 3a_{3}=a_{2}-a_{0}\}
do espaço vetorial \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). O objetivo é encontrar uma base de V e determinar sua dimensão. Para isso, vamos escrever um polinômio genérico de grau <=3, impor a restrição linear entre os coeficientes e parametrizar os graus de liberdade resultantes.

Passo 2

Seja
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}.
A condição 3a_{3}=a_{2}-a_{0} pode ser reescrita como
a_{2}=a_{0}+3a_{3}.
Isto mostra que, dentre os quatro coeficientes a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}, apenas três são livres (por exemplo a_{0},a_{1},a_{3}).

Passo 3

Escolhendo a_{0},a_{1},a_{3} como parâmetros livres, substituímos
a_{2}=a_{0}+3a_{3}
em p(x):
p(x)=a_{0}+a_{1}x+(a_{0}+3a_{3})x^{2}+a_{3}x^{3} =a_{0}(1+x^{2})+a_{1}x+a_{3}(3x^{2}+x^{3}).
Isso mostra que
V = \Span\{\,1+x^{2},\;x,\;3x^{2}+x^{3}\}.

Passo 4

Para verificar que \{\,1+x^{2},\,x,\,3x^{2}+x^{3}\} é uma base, note que são três vetores lineares independentes em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros) e geram todo V. Portanto, formam de fato uma base de V.

Resposta

Base de V: \{\,1+x^{2},\,x,\,3x^{2}+x^{3}\}
Dimensão de V: 3

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