Determine se cada conjunto é linearmente independente ou dependente.
(c) \left\{x^{2}-1, x+2,2 x^{2}-3 x-4\right\} em \mathbb{P}_{4}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
\{\,x^{2}-1,\;x+2,\;2x^{2}-3x-4\} em \mathbb{P}_{4} e pede para decidir se ele é linearmente independente ou dependente. Para isso, vamos usar a definição: o conjunto é linearmente independente se a combinação linear
a\,(x^{2}-1)+b\,(x+2)+c\,(2x^{2}-3x-4)=0
implica a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear igual ao polinômio nulo, temos
a\,(x^{2}-1)+b\,(x+2)+c\,(2x^{2}-3x-4)=0.

Passo 3

Vamos expandir e agrupar termos semelhantes. Primeiro expandimos:
a\,x^{2}-a \;+\; b\,x+2b \;+\;2c\,x^{2}-3c\,x-4c=0.
Reagrupando por potências de x:
(a+2c)\,x^{2} \;+\;(b-3c)\,x \;+\;(-a+2b-4c)=0.

Passo 4

Para que isso seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim formamos o sistema
\begin{cases} a+2c=0,\\\ b-3c=0,\\\\ -a+2b-4c=0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=-2c. Da segunda vem b=3c. Substituindo em -a+2b-4c=0 temos
-(-2c)+2\,(3c)-4c=2c+6c-4c=4c=0
logo c=0. Assim a=-2\cdot0=0 e b=3\cdot0=0.

Passo 5

O único triplo (a,b,c) que satisfaz é (0,0,0). Portanto a combinação linear trivial é a única que anula os três polinômios.

Resposta

O conjunto \{x^{2}-1,\;x+2,\;2x^{2}-3x-4\} é linearmente independente.

Exercícios relacionados