Determine se cada conjunto é linearmente independente ou dependente.
(c) \left\{x^{2}-1, x+2,2 x^{2}-3 x-4\right\} em \mathbb{P}_{4}
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de polinômios \{\,x^{2}-1,\;x+2,\;2x^{2}-3x-4\} em \mathbb{P}_{4} e pede para decidir se ele é linearmente independente ou dependente. Para isso, vamos usar a definição: o conjunto é linearmente independente se a combinação linear
a\,(x^{2}-1)+b\,(x+2)+c\,(2x^{2}-3x-4)=0
implica a=b=c=0.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear igual ao polinômio nulo, temos
a\,(x^{2}-1)+b\,(x+2)+c\,(2x^{2}-3x-4)=0.
Passo 3
Vamos expandir e agrupar termos semelhantes. Primeiro expandimos: