Determine se cada conjunto é linearmente independente ou dependente.
(d) \left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} em M_{2 \times 2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\Bigl\{A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\;C=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\Bigr\}
em M_{2\times2}(\mathbb{R}) e pede para verificar se ele é linearmente independente ou dependente. Para isso, vamos usar a definição: o conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá a matriz zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha A + \beta B + \gamma C = \mathbf{0},
isto é,
\alpha\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema
\begin{cases} \text{(1,1):}&\alpha + 0\cdot\beta + \gamma = 0,\\\ \text{(1,2):}&\alpha + \beta + 0\cdot\gamma = 0,\\\ \text{(2,1):}&0\cdot\alpha + \beta + 0\cdot\gamma = 0,\\\ \text{(2,2):}&0\cdot\alpha + 0\cdot\beta + \gamma = 0. \end{cases}
Ou seja,
\begin{cases} \alpha + \gamma = 0,\\\ \alpha + \beta = 0,\\\ \beta = 0,\\\ \gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem \beta=0. Da quarta vem \gamma=0. Substituindo em \alpha + \gamma=0 \alpha=0. Logo \alpha=\beta=\gamma=0 é a única solução.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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