Inverta as seguintes matrizes ou justifique por que são singulares.
(a) \left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 3\\\\ 1 & 4\end{pmatrix}
Isso envolve calcular o determinante de A e, se for não nulo, usar a fórmula do inverso de uma matriz 2\times2, que é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}
quando
A = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para
\displaystyle A = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(A) = a d - b c.
Aqui a=2, b=3, c=1 e d=4, logo
\det(A) = 2\cdot4 - 3\cdot1 = 8 - 3 = 5.

Passo 3

Como \det(A)=5\neq0, a matriz A é invertível. Aplicamos a fórmula do inverso:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 4

Substituindo a=2, b=3, c=1, d=4 e \det(A)=5, obtemos
A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\\[6pt] -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}.
]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\\\\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}.

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