Seja
com as bases:
.
(a) Encontre
e
para
.
(b) Calcule a matriz de mudança de base
e use-a para encontrar
a partir de
.
(c) Encontre
e
.
(d) Verifique
para
.
(a) Encontre
(b) Calcule a matriz de mudança de base
(c) Encontre
(d) Verifique
Passo 1
O enunciado trabalha mudanças de base em
com as bases
Vamos (a) encontrar as coordenadas de
em
e
, (b) calcular a matriz de mudança de base de
para
e usá-la, (c) obter
e
, e (d) verificar a composição para
.
Passo 2
Para
:
– Em
(base canônica) as coordenadas são imediatas:
– Em
resolvemos
isto é,
O determinante é
, e a inversa é
Multiplicando,
Logo
Passo 3
A matriz de mudança de base de
para
, que chamaremos
, é justamente
Aplicando-a a
recuperamos
coincidindo com o valor do passo anterior.
Passo 4
Para achar
e
usamos as matrizes cujas colunas são as bases em coordenadas canônicas. Seja
Então
Como
e
temos
E
leva coordenadas em
para canônicas, logo é
Passo 5
Verificamos a composição para
.
– Diretamente em
, resolvemos
ou seja
e
– Pela composição
:
Como dá o mesmo resultado, a identidade composta está verificada.
Resposta
(a)
,
(b) , e aplicando-a em
obtém-se
.
(c) ,
(d) Para ambas as formas dão
, confirmando
.
(b)
(c)
(d) Para