Seja V=\mathbb{R}^{2} com as bases:
B=\{(1,0),(0,1)\}, \quad A=\{(1,2),(3,4)\}, \quad C=\{(-1,1),(2,0)\}.
(a) Encontre [\mathbf{v}]_{B} e [\mathbf{v}]_{A} para \mathbf{v}=(7,10).
(b) Calcule a matriz de mudança de base B A e use-a para encontrar [\mathbf{v}]_{A} a partir de [\mathbf{v}]_{B}.
(c) Encontre [I]_{A}^{C} e [I]_{C}^{B}.
(d) Verifique [I]_{B}^{C}=[I]_{B}^{A} \cdot[I]_{A}^{C} para \mathbf{v}=(1,-2).

Passo 1

O enunciado trabalha mudanças de base em \mathbb{R}^2 com as bases
B = \{(1,0),\,(0,1)\},\quad A = \{(1,2),\,(3,4)\},\quad C = \{(-1,1),\,(2,0)\}.
Vamos (a) encontrar as coordenadas de \mathbf v=(7,10) em B e A, (b) calcular a matriz de mudança de base de B para A e usá-la, (c) obter [I]_{A}^{C} e [I]_{C}^{B}, e (d) verificar a composição para \mathbf v=(1,-2).

Passo 2

Para \mathbf v=(7,10):
– Em B (base canônica) as coordenadas são imediatas:
[\mathbf v]_{B} = \begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix}.
– Em A resolvemos
\alpha\,(1,2) + \beta\,(3,4) = (7,10),
isto é,
\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix}.
O determinante é 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2, e a inversa é
\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&4\end{pmatrix}^{-1} = -\tfrac12 \begin{pmatrix}4&-3\\\ -2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&1{,}5\\\ 1&-0{,}5\end{pmatrix}.
Multiplicando,
\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&1{,}5\\\ 1&-0{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Logo
[\mathbf v]_{A} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz de mudança de base de B para A, que chamaremos P_{B\to A}, é justamente
P_{B\to A} =\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&4\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}-2&1{,}5\\\ 1&-0{,}5\end{pmatrix}.
Aplicando-a a [\mathbf v]_{B}=(7,10) recuperamos
[\mathbf v]_{A} = P_{B\to A}\,[\mathbf v]_{B} = \begin{pmatrix}-2&1{,}5\\\ 1&-0{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\\ 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
coincidindo com o valor do passo anterior.

Passo 4

Para achar [I]_{A}^{C} e [I]_{C}^{B} usamos as matrizes cujas colunas são as bases em coordenadas canônicas. Seja
M_{A}=\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&4\end{pmatrix},\quad M_{C}=\begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Então
[I]_{A}^{C} \colon [\mathbf v]_{C} = [I]_{A}^{C}\,[\mathbf v]_{A}, \quad [I]_{A}^{C} = M_{C}^{-1}\,M_{A}.
Como \det M_{C}=-2 e
M_{C}^{-1} = -\tfrac12 \begin{pmatrix}0&-2\\\ -1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0{,}5&0{,}5\end{pmatrix},
temos
[I]_{A}^{C} = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0{,}5&0{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&3\\\ 2&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&4\\\ 1{,}5&3{,}5\end{pmatrix}.
E [I]_{C}^{B} leva coordenadas em C para canônicas, logo é
[I]_{C}^{B} = M_{C} = \begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&0\end{pmatrix}.

Passo 5

Verificamos a composição para \mathbf v=(1,-2).
– Diretamente em C, resolvemos
\gamma\,(-1,1)+\delta\,(2,0)=(1,-2),
ou seja
\begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\gamma\\delta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix},
e
\begin{pmatrix}\gamma\\delta\end{pmatrix} = M_{C}^{-1} \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0{,}5&0{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ -0{,}5\end{pmatrix}.
– Pela composição B\to A\to C:
[\mathbf v]_{B}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, \quad [\mathbf v]_{A} = P_{B\to A}\,[\mathbf v]_{B} = \begin{pmatrix}-2&1{,}5\\\ 1&-0{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\\ 2\end{pmatrix},
[\mathbf v]_{C} = [I]_{A}^{C}\,[\mathbf v]_{A} = \begin{pmatrix}2&4\\\ 1{,}5&3{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-5\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ -0{,}5\end{pmatrix}.
Como dá o mesmo resultado, a identidade composta está verificada.

Resposta

(a) [\mathbf v]_{B}=(7,10)^{T}, [\mathbf v]_{A}=(1,2)^{T}.
(b) P_{B\to A}=\begin{pmatrix}-2&1{,}5\\\ 1&-0{,}5\end{pmatrix}, e aplicando-a em (7,10)^{T} obtém-se (1,2)^{T}.
(c) [I]_{A}^{C}=\begin{pmatrix}2&4\\\ 1{,}5&3{,}5\end{pmatrix}, [I]_{C}^{B}=\begin{pmatrix}-1&2\\\ 1&0\end{pmatrix}.
(d) Para \mathbf v=(1,-2) ambas as formas dão [\mathbf v]_{C}=(-2,\,-0{,}5)^{T}, confirmando [I]_{B}^{C}=[I]_{A}^{C}\,[I]_{B}^{A}.

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