14.17 Em uma operação de estampagem profunda, têm-se que o diâmetro interno do copo cilíndrico é igual a 4,25 \mathrm{in}, e sua altura igual a 2,65 in. A espessura inicial do esboço é 3 / 16 in, e o diâmetro do esboço de partida é igual 7,7 \mathrm{in}. Os raios de adoçamento do punção e matriz são iguais a 5 / 32 \mathrm{in}. A chapa tem o limite de escoamento igual a 65.000 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}, o limite de resistência à tração igual 32.000 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} e a resistência ao cisalhamento é 40.000 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}. Determine (a) a razão-limite de estampagem, (b) a redução, (c) a força de estampagem e (d) a força de aperto do prensa-chapas.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei todos os números do enunciado):
  • diâmetro interno do copo: d=4,25\\ \mathrm{in},
  • altura do copo: h=2,65\\ \mathrm{in},
  • espessura inicial do esboço: t_0=\dfrac{3}{16}\\ \mathrm{in}=0,1875\\ \mathrm{in},
  • diâmetro do esboço de partida (disco inicial): D_0=7,7\\ \mathrm{in},
  • raios de adoçamento do punção e matriz: r=5/32\\ \mathrm{in}=0,15625\\ \mathrm{in},
  • limites materiais (dados no enunciado): limite de escoamento =65.000\\ \mathrm{lbf/in^2}, limite de resistência à tração =32.000\\ \mathrm{lbf/in^2} e resistência ao cisalhamento =40.000\\ \mathrm{lbf/in^2}.
Observação importante (não peça — só explico): os valores de escoamento e de resistência à tração parecem trocados (normalmente o limite de resistência à tração é maior que o limite de escoamento). Vou interpretar de forma fisicamente consistente, trocando-os: adotarei \sigma_y=32.000\\ \mathrm{psi} (limite de escoamento) e \sigma_u=65.000\\ \mathrm{psi} (resistência à tração), e \tau=40.000\\ \mathrm{psi} (cisalhamento). Se você quiser usar os números exatamente na ordem do enunciado, me avisa depois; aqui procedo com a interpretação física.
O que é pedido:
(a) a razão-limite de estampagem (vamos interpretar como a razão de estampagem real D_0/d);
(b) a redução (vou calcular a redução de espessura do material ao final usando conservação de volume e expressar em %);
(c) a força de estampagem (força de tração/arrancamento para desenhar o copo — força de estampagem propriamente dita);
(d) a força de aperto do prensa-chapas (blank-holder force) — vou estimar com uma hipótese prática bem justificada.

Passo 2

(a) Calcular a razão de estampagem (razão entre o diâmetro do disco inicial e o diâmetro do copo).
Definição simples: razão de estampagem
\text{razão}=\frac{D_0}{d}.ã
Substituindo:
\frac{D_0}{d}=\frac{7,7}{4,25}=1,8118\\ (\text{aprox.}).
Interpretação curta: esse número indica quanto o disco foi “puxado” para formar o copo. Valores típicos de razão máxima para aços sem operações intermediárias ficam por volta de 2,0; como 1,81<2,0, o desenho parece viável sem operações adicionais.

Passo 3

(b) Calcular a redução de espessura: usamos conservação de volume (área de disco inicial × t_0 = volume final do copo). Expliquei porque: o material é praticamente incompressível, então o volume do disco vira volume do copo (fundo + parede).
Área do disco inicial:
A_0=\pi\frac{D_0^2}{4}.
Volume inicial:
V_0=A_0 t_0=\pi\frac{D_0^2}{4}\,t_0.
Volume final do copo: soma do volume do fundo (base) mais o volume da parede cilíndrica (aproximação usando o diâmetro interno d e espessura final t_f):
  • área do fundo: \pi\frac{d^2}{4},
  • área lateral (projetada): \pi d h.
Logo
V_f = t_f\left(\pi\frac{d^2}{4}+\pi d h\right)=\pi t_f\left(\frac{d^2}{4}+d h\right).
Impondo V_0=V_f e cancelando \pi,
t_f=\;t_0\;\frac{\dfrac{D_0^2}{4}}{\dfrac{d^2}{4}+d h} \quad\Longrightarrow\quad t_f=t_0\frac{D_0^2}{d^2+4 d h}.
Agora calculo numericamente:
D_0^2=7,7^2=59,29,
d^2=4,25^2=18,0625,
4 d h=4\cdot4,25\cdot2,65=45,05,
d^2+4 d h=18,0625+45,05=63,1125.
Portanto
t_f=0,1875\cdot\frac{59,29}{63,1125}=0,1875\cdot0,939560\approx0,17618\\ \mathrm{in}.
Agora a redução relativa de espessura (fração) e em porcentagem:
\text{redução}=\frac{t_0-t_f}{t_0}=\frac{0,1875-0,17618}{0,1875}=0,06042\\ \text{(fração)}.çãçã
\text{redução}=6,04\%\\ (\text{aprox.}).çã
Explicando didaticamente: a parede afinou só um pouco (≈6%), o que é comum em um desenho de copo sem ironing pesado.

Passo 4

(c) Calcular a força de estampagem (força necessária para puxar o material através da matriz — força de desenho máxima). Vou usar uma aproximação usual e simples e muito usada em provas: a força de desenho máxima é aproximadamente
F_D=\pi d\,t_{\text{médio}}\,\bar{\sigma},é
onde:
  • \pi d é o comprimento da linha de contato (circunferência do furo/punção),
  • t_{\text{médio}}é é uma espessura média ao longo do processo (uso a média t_{\text{médio}}=(t_0+t_f)/2é),
  • \bar{\sigma} é uma tensão média de escoamento/fluência do material durante o processo; uma aproximação prática é \bar{\sigma}=(\sigma_y+\sigma_u)/2 (média entre limite de escoamento e resistência à tração).
Justificativa curta: o material passa por deformação plástica; usar uma tensão média é uma aproximação razoável para estimar a força total ao longo da circunferência.
Calculemos as quantidades:
t_{\text{médio}}=\frac{0,1875+0,17618}{2}=0,18184\\ \mathrm{in}.é
\bar{\sigma}=\frac{\sigma_y+\sigma_u}{2}=\frac{32.000+65.000}{2}=48.500\\ \mathrm{psi}.
Agora
F_D=\pi\cdot4,25\cdot0,18184\cdot48.500.
Faço em passos:
\pi\cdot4,25\cdot0,18184\approx2,4279,
F_D\approx2,4279\cdot48.500\approx117.800\\ \mathrm{lbf}.
Interpretação: a força de desenho máxima necessária é aproximadamente 1,18\times10^5\\ \mathrm{lbf} (ou 117{,}8\\ \mathrm{kips}). Essa é uma estimativa; em projeto detalhado inclui-se atrito, variabilidade do material e outros fatores, mas para prova essa fórmula é a mais usada.

Passo 5

Resposta alternativa (força de blanking/estampagem do disco): o enunciado deu resistência ao cisalhamento \tau=40.000\\ \mathrm{psi}; se você precisa também da força para cortar o disco inicial do chanfro (operação de blanking), a fórmula é
F_{\text{corte}}=\tau\cdot t_0\cdot(\text{perímetro do disco})=\tau\;t_0\;\pi D_0.í
Substituindo:
F_{\text{corte}}=40.000\cdot0,1875\cdot\pi\cdot7,7\approx181.400\\ \mathrm{lbf}.
Esse valor representa a força para cortar o disco inicial (se a operação de corte for feita antes do desenho). Eu deixei o cálculo aqui porque muitos exercícios pedem tanto a força de corte quanto a força de desenho; na sua prova fique atento ao que especificamente se pede.

Passo 6

(d) Força de aperto do prensa-chapas (blank-holder force). Não existe uma fórmula universal única — na prática o valor é escolhido para impedir rugas na flange e permitir o escoamento. Uma regra de projeto frequentemente usada em aula/provas é tomar a força de blank-holder como uma fração da força de desenho, tipicamente entre 10\% e 20\% da força de desenho. Vou escolher um valor intermediário e justificável: 15\% de F_D. (Se o seu professor der outra percentagem, use-a; aqui escolho 15% por ser uma escolha prática e conservadora.)
Assim:
F_{BH}=0,15\;F_D=0,15\cdot117.800\approx17.670\\ \mathrm{lbf}\\ (\text{aprox.}).
Comentário prático: em experiências reais ajusta-se esse valor até eliminar rugas sem causar rasgamento; portanto a resposta é uma estimativa de projeto.

Resposta

(a) \dfrac{D_0}{d}=1,8118.
(b) redução de espessura =\;6,04\% (espessura final t_f\approx0,17618\\ \mathrm{in}).
(c) força de estampagem (desenho) F_D\approx117.800\\ \mathrm{lbf}.
(Força de corte do disco, se solicitada: F_{\text{corte}}\approx181.400\\ \mathrm{lbf}.)
(d) força de aperto do prensa-chapas (estimativa, usando 15% de F_D) F_{BH}\approx17.670\\ \mathrm{lbf}.

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