Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área entre o gráfico da função f(x)=x^3-x e o eixo x no intervalo [0, 2] usando duas somas de Riemann com 4 retângulos em cada soma, uma soma para o intervalo [0,1] e outra para o intervalo [0, 2]. Porque é necessário dividir o intervalo [0, 2] em dois subintervalos?

Passo 1

A questão pede para aproximar a área entre o gráfico de f(x)=x^3-x e o eixo x no intervalo [0,2] usando somas de Riemann de 4 retângulos em cada parte. Vamos usar o conceito de soma de Riemann (matriz de retângulos) e o fato de que área abaixo do eixo x deve entrar como valor absoluto.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de f(x)=x^3-x no intervalo [0,2], note que as raízes são em x=0 e x=1. Em (0,1) a função é negativa e em (1,2) é positiva. Desenhe a curva do polinômio e sobre cada subintervalo posicione 4 retângulos de largura De, com altura igual ao valor de f no ponto de amostragem escolhido (adotamos pontos à direita).
É necessário dividir [0,2] em dois subintervalos [0,1] e [1,2] porque em x=1 a função muda de sinal. Assim garantimos que cada soma de Riemann trate uma região onde f(x) mantém mesmo sinal, permitindo computar corretamente a área (positivo ou negativo).

Passo 3

Em cada subintervalo temos n=4 retângulos, então
De

Passo 4

Como usamos pontos à direita, os xi para [0,1] são 0.25,0.5,0.75,1 e para [1,2] são 1.25,1.5,1.75,2.

Passo 5

Para [0,1]:
S1 = sumi=1^4 f(xi),De

Passo 6

Calculando f(0.25)=-0.234375, f(0.5)=-0.375, f(0.75)=-0.328125, f(1)=0, temos soma -0.9375. Logo
S1 = -0.9375times0.25 = -0.234375,
e a área absoluta em [0,1] é A1=0.234375.

Passo 7

Para [1,2]:
S2 = sumi=1^4 f(xi),De

Passo 8

Com f(1.25)=0.703125, f(1.5)=1.875, f(1.75)=3.609375, f(2)=6, soma é 12.1875. Então
S2 = 12.1875times0.25 = 3.046875,
e a área em [1,2] é A2=3.046875.

Passo 9

A área total aproximada é a soma das duas áreas positivas:
A = A1 + A2 = 0.234375 + 3.046875 = 3.28125

Resposta

A área aproximada entre o gráfico de f(x)=x^3-x e o eixo x em [0,2] usando 4 retângulos em cada subintervalo é aproximadamente 3.28125.

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