Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área entre o gráfico da função
e o eixo
no intervalo [0, 2] usando duas somas de Riemann com 4 retângulos em cada soma, uma soma para o intervalo
e outra para o intervalo [0, 2]. Porque é necessário dividir o intervalo [0, 2] em dois subintervalos?
Calcule uma aproximação para a área entre o gráfico da função
Passo 1
A questão pede para aproximar a área entre o gráfico de
e o eixo
no intervalo
usando somas de Riemann de 4 retângulos em cada parte. Vamos usar o conceito de soma de Riemann (matriz de retângulos) e o fato de que área abaixo do eixo
deve entrar como valor absoluto.
Passo 2
Para esboçar o gráfico de
no intervalo
, note que as raízes são em
e
. Em
a função é negativa e em
é positiva. Desenhe a curva do polinômio e sobre cada subintervalo posicione 4 retângulos de largura
, com altura igual ao valor de
no ponto de amostragem escolhido (adotamos pontos à direita).
É necessário dividir em dois subintervalos
e
porque em
a função muda de sinal. Assim garantimos que cada soma de Riemann trate uma região onde
mantém mesmo sinal, permitindo computar corretamente a área (positivo ou negativo).
É necessário dividir
Passo 3
Em cada subintervalo temos
retângulos, então
Passo 4
Como usamos pontos à direita, os
para
são
e para
são
.
Passo 5
Para
:
Passo 6
Calculando
,
,
,
, temos soma
. Logo
e a área absoluta em
Passo 7
Para
:
Passo 8
Com
,
,
,
, soma é
. Então
e a área em
Passo 9
A área total aproximada é a soma das duas áreas positivas:
Resposta
A área aproximada entre o gráfico de
e o eixo
em
usando 4 retângulos em cada subintervalo é aproximadamente
.