Para cada exercício abaixo, use o vetor aceleração a(t) e as condições iniciais fornecidas para determinar o vetor r(t) em t=2.
a(t)=2 i+3 k, v(0)=4 j, r(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o vetor aceleração
a(t)=2,i+3,k,
a velocidade inicial v(0)=4,j e a posição inicial r(0)=0.
Queremos encontrar r(t) e, em particular, r(2).
O conteúdo envolve integração vetorial em cada componente para passar de a(t) a v(t) e depois a r(t).

Passo 2

Integramos a(t) para obter v(t), lembrando de incluir uma constante vetorial de integração C:
v(t)=integrala(t),dt =integral(2,i+3,k),dt =2t,i+C+3t,k
Em t=0 temos v(0)=C=4,j. Logo
v(t)=2t,i+4,j+3t,k

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter r(t), adicionando outra constante vetorial D:
r(t)=integralv(t),dt =integrall(2t,i+4,j+3t,kr),dt =t^2,i+4t,j+tfrac32t^2,k+D
Em t=0 vale r(0)=D=0. Assim
r(t)=t^2,i+4t,j+tfrac32t^2,k

Passo 4

Basta avaliar em t=2:
r(2)=2^2,i+4cdot2,j+tfrac32cdot2^2,k =4,i+8,j+6,k

Resposta

r(2)=4,i+8,j+6,k

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