Calcular as derivadas pela definição
f(x)=\sqrt{x}, x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=raizx no ponto x0=1 usando a definição de derivada. Vamos aplicar o limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição de derivada em x0:
f'(1)=limxto1f(x)-f(1)x-1 =limxto1raizx-1x-1
Para facilitar os cálculos, use h=x-1, de modo que x=1+h e hto0. Então
f'(1)=limhto0raiz1+h-1h

Passo 3

Para eliminar a forma tfrac00, racionalizamos o numerador multiplicando por raiz1+h+1:
raiz1+h-1h cdot raiz1+h+1raiz1+h+1 = (raiz1+h)^2-1^2hl(raiz1+h+1r) = 1+h-1hl(raiz1+h+1r) = 1raiz1+h+1

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando hto0:
f'(1) =limhto01raiz1+h+1 =1raiz1+1 =12

Resposta

12

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