Para cada exercício abaixo, use o vetor aceleração a(t) e as condições iniciais fornecidas para determinar o vetor r(t) em t=2.
a(t)=-cos t i-sin t j, v(0)=j+k, r(0)=i

Passo 1

O enunciado dá a aceleração
a(t) = -cos t,i - sin t,j,
as condições iniciais
v(0)=j+k e r(0)=i,
e pede r(2).
O conteúdo é integração de vetores: primeiro integramos a(t) para achar v(t), usamos v(0) para determinar constantes, depois integramos v(t) para achar r(t) e usamos r(0) para achar as constantes de posição.

Passo 2

Integramos componente a componente para obter v(t).
Da componente i:
integral -cos t,dt = -sin t + C1
Da componente j:
integral -sin t,dt = cos t + C2
Como não há componente k em a(t), a componente k de v(t) é constante C3.
Logo
v(t) = l(-sin t + C1r)i + l(cos t + C2r)j + C3,k

Passo 3

Aplicamos v(0)=j+k. Em t=0:
-sin 0 + C1 = 0 + C1 = 0, cos 0 + C2 = 1 + C2 = 1, C3 = 1
Daí C1=0, C2=0 e C3=1.
Portanto
v(t) = -sin t,i + cos t,j + k

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter r(t).
Componente i:
integral -sin t,dt = cos t + D1
Componente j:
integral cos t,dt = sin t + D2
Componente k:
integral 1,dt = t + D3
Logo
r(t) = l(cos t + D1r)i + l(sin t + D2r)j + (t + D3)k

Passo 5

Usamos r(0)=i, ou seja em t=0 temos (1,0,0). Logo
cos 0 + D1 = 1 + D1 = 1, sin 0 + D2 = 0 + D2 = 0, 0 + D3 = 0
Daí D1=0, D2=0, D3=0.
Portanto
r(t) = cos t,i + sin t,j + t,k

Passo 6

Finalmente, avaliamos em t=2:
r(2) = cos 2,i + sin 2,j + 2,k

Resposta

r(2) = cos 2,i + sin 2,j + 2,k

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