The Cartesian coordinates of a point are given.
(i) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r>0 and 0 <= theta<2 pi.
(ii) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r<0 and 0 <= theta<2 pi.
(b) (-1, raiz3)

Passo 1

O enunciado pede para converter as coordenadas cartesianas do ponto (-1,raiz3) em coordenadas polares (r,theta) em dois cenários: (i) com r>0 e ,0<=theta<2pi, e (ii) com r<0 e ,0<=theta<2pi. Vamos usar as fórmulas
r = raizx^2+y^2,
e para theta encontrar um ângulo que satisfaça
x = rcostheta, y = rsintheta,
tomando cuidado com o quadrante de (x,y).

Passo 2

Calcular o raio r a partir de (x,y)=(-1,raiz3):
r = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2

Passo 3

Caso (i), com r>0. Já temos r=2. Para theta usamos
tantheta = yx = raiz3-1 = -raiz3,
mas o ponto está no segundo quadrante ( x<0,,y>0), onde o ângulo correspondente a tantheta=-raiz3 é
theta = pi - pi3 = 2pi3

Passo 4

Caso (ii), com r<0. Escolhemos r=-2 (o módulo continua 2) e procuramos theta tal que
-2costheta = -1, -2sintheta = raiz3
Isto dá
costheta = 12, sintheta = -raiz32,
que corresponde ao quarto quadrante, logo
theta = 5pi3

Resposta

(i) (2,tfrac2pi3)
(ii) (-2,tfrac5pi3)

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