Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica \sum_{n=1}^{+\infty} 5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a soma quando possível. A série dada é
Identificar o tipo de série e os parâmetros relevantes. Esta é uma série geométrica porque cada termo é de forma constante vezes uma potência com base fixa. Para séries geométricas precisamos saber:
a razão comum r (o número que se eleva à potência n),
o primeiro termo a_1 (o termo correspondente a n=1).
Critério de convergência da série geométrica e verificação. Lembrete (mini-aula): uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1} ou \sum_{n=1}^{\infty} (a_1 r) r^{\,n-1} converge se, e somente se, |r|<1. Neste caso o valor absoluto da razão é
|r|=\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1.
Como |r|<1, a série é convergente. (Respira fundo: boa notícia!)
Passo 4
Fórmula da soma da série geométrica (mini-aula com derivação curta). Seja S_N a soma parcial dos N primeiros termos de uma série geométrica com primeiro termo a_1 e razão r. Então