Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica
\sum_{n=1}^{+\infty} 5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a soma quando possível. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} 5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A soma é para n de 1 a +\infty.
  • O termo geral é 5\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.

Passo 2

Identificar o tipo de série e os parâmetros relevantes. Esta é uma série geométrica porque cada termo é de forma constante vezes uma potência com base fixa. Para séries geométricas precisamos saber:
  • a razão comum r (o número que se eleva à potência n),
  • o primeiro termo a_1 (o termo correspondente a n=1).
Aqui:
r=\frac{2}{3}, \qquad a_1=5\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=5\cdot\frac{2}{3}.

Passo 3

Critério de convergência da série geométrica e verificação. Lembrete (mini-aula): uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1} ou \sum_{n=1}^{\infty} (a_1 r) r^{\,n-1} converge se, e somente se, |r|<1. Neste caso o valor absoluto da razão é
|r|=\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1.
Como |r|<1, a série é convergente. (Respira fundo: boa notícia!)

Passo 4

Fórmula da soma da série geométrica (mini-aula com derivação curta). Seja S_N a soma parcial dos N primeiros termos de uma série geométrica com primeiro termo a_1 e razão r. Então
S_N = a_1 + a_1 r + a_1 r^{2} + \cdots + a_1 r^{N-1}.
Multiplicando por r e subtraindo, obtém-se
(1-r)S_N = a_1(1-r^{N}).
Dividindo,
S_N = a_1\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Como |r|<1, temos \lim_{N\to\infty} r^{N}=0. Portanto a soma infinita é
S=\lim_{N\to\infty} S_N = a_1\frac{1-0}{1-r}=\frac{a_1}{1-r}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 5

Aplicar a fórmula aos números do problema. Já temos a_1=5\cdot\frac{2}{3} e r=\frac{2}{3}. Calculemos passo a passo:
a_1=5\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}.
1-r=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Agora a soma:
S=\frac{a_1}{1-r}=\frac{\tfrac{10}{3}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{1}=10.
Logo a série converge e sua soma é \,10.

Resposta

Convergente.
Soma =10

Exercícios relacionados