Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Identidade: \frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede.
  • Sério dado: \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n-1)!}{(n+1)!}.
  • Identidade fornecida (pode ser útil): \displaystyle\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}.
  • Pergunta: determinar se a série é convergente ou divergente; caso seja convergente, calcular a sua soma (se possível).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do termo geral usando propriedades de fatorial. Lembrando que para inteiro n\ge1 vale
(n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!.
Então
\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{(n-1)!}{(n+1)\,n\,(n-1)!}=\frac{1}{n(n+1)}.
Portanto a série fica
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}.

Passo 3

Agora usar a identidade telescópica (tomando k=1 na identidade dada). Com k=1 temos
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Esse tipo de decomposição é útil porque gera uma série telescópica: muitos termos sucessivos se cancelam quando somamos.

Passo 4

Vamos formar a soma parcial S_N até N e observar o cancelamento. Usando a decomposição,
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
\begin{aligned} S_N &= \left(1-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right) + \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1}\right)\\\ &= 1 - \tfrac{1}{N+1}, \end{aligned}
pois todos os termos intermediários \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\ldots,\tfrac{1}{N} cancelam em pares.

Passo 5

Para decidir convergência, tomamos o limite das somas parciais quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\left(1-\tfrac{1}{N+1}\right)=1-0=1.
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é 1.

Resposta

Convergente; soma =1

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