Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Identidade:
.
Identidade:
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede.
- Sério dado:
. - Identidade fornecida (pode ser útil):
. - Pergunta: determinar se a série é convergente ou divergente; caso seja convergente, calcular a sua soma (se possível).
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão do termo geral usando propriedades de fatorial. Lembrando que para inteiro
vale
Então
Portanto a série fica
Passo 3
Agora usar a identidade telescópica (tomando
na identidade dada). Com
temos
Esse tipo de decomposição é útil porque gera uma série telescópica: muitos termos sucessivos se cancelam quando somamos.
Passo 4
Vamos formar a soma parcial
até
e observar o cancelamento. Usando a decomposição,
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
pois todos os termos intermediários
cancelam em pares.
Passo 5
Para decidir convergência, tomamos o limite das somas parciais quando
:
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
Convergente; soma