Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da divergência (limite do termo geral).
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Teste da divergência (limite do termo geral).
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível). A informação dada é a expressão do termo geral:
Passo 2
Vamos aplicar o teste da divergência (teste do termo geral): primeiro calculamos o limite
. Se esse limite for diferente de
, a série diverge. Para calcular o limite, manipulemos
dividindo numerador e denominador por
, que é o maior grau que aparece:
Simplificando as frações dentro do denominador:
Agora tomamos o limite quando
. Sabendo que
e
, obtemos
Passo 3
Aplicando o teste da divergência: uma série
só pode ser convergente se
. Aqui encontramos
. Portanto a série não converge. Intuição rápida: os termos não tendem a zero, então mesmo somando infinitos termos não haverá cancelamento suficiente — seria algo como somar muitos termos aproximando
, o que faz a soma parcial crescer sem limite.
Passo 4
Como a série diverge pelo teste do termo geral, não existe soma finita a ser calculada.
Resposta
Divergente, pois
.