Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da divergência (limite do termo geral).
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{8 n^{3}}{-7 n^{2}+5+9 n^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{8 n^{3}}{-7 n^{2}+5+9 n^{3}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível). A informação dada é a expressão do termo geral:
a_n=\frac{8 n^{3}}{-7 n^{2}+5+9 n^{3}}.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da divergência (teste do termo geral): primeiro calculamos o limite \lim_{n\to\infty} a_n. Se esse limite for diferente de 0, a série diverge. Para calcular o limite, manipulemos a_n dividindo numerador e denominador por n^{3}, que é o maior grau que aparece:
a_n=\frac{8 n^{3}}{-7 n^{2}+5+9 n^{3}}=\frac{8}{\dfrac{-7 n^{2}}{n^{3}}+\dfrac{5}{n^{3}}+\dfrac{9 n^{3}}{n^{3}}}.
Simplificando as frações dentro do denominador:
a_n=\frac{8}{\dfrac{-7}{n}+\dfrac{5}{n^{3}}+9}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Sabendo que \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{1}{n^{3}}\to0, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{8}{0+0+9}=\frac{8}{9}.

Passo 3

Aplicando o teste da divergência: uma série \sum a_n só pode ser convergente se \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Aqui encontramos \lim_{n\to\infty} a_n = \tfrac{8}{9}\neq 0. Portanto a série não converge. Intuição rápida: os termos não tendem a zero, então mesmo somando infinitos termos não haverá cancelamento suficiente — seria algo como somar muitos termos aproximando 8/9, o que faz a soma parcial crescer sem limite.

Passo 4

Como a série diverge pelo teste do termo geral, não existe soma finita a ser calculada.

Resposta

Divergente, pois \lim_{n\to\infty}\frac{8 n^{3}}{-7 n^{2}+5+9 n^{3}}=\frac{8}{9}\neq 0.

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