Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica
Sabendo que \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{4^{n-1}}=2, determine x.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{4^{n-1}} = 2,
e pede para determinar o valor de x. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A série é somatório de termos da forma \dfrac{x}{4^{n-1}} para n=1,2,3,\dots.
O valor da soma infinita dessa série é 2.
Não há nenhuma outra restrição explícita sobre x no enunciado.
Passo 2
Vamos recordar o que é e quando converge uma série geométrica, porque essa série tem a cara de uma geométrica.
Definição e critério de convergência:
Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k},
onde a é o primeiro termo (quando k=0) e r é a razão comum.
Essa série converge se, e somente se, |r|<1.
Se |r|<1, a soma é dada por
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1-r}.
Explicando as letras: a é o valor do primeiro termo (o termo inicial), r é o fator multiplicativo entre termos consecutivos, e |r| é o valor absoluto de r — precisamos dele menor que 1 para que os termos tendam a zero e a soma exista.
Passo 3
Reescrever a série do enunciado para reconhecê-la como geométrica.