Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica
Sabendo que \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{4^{n-1}}=2, determine x.

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{4^{n-1}} = 2,
e pede para determinar o valor de x. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série é somatório de termos da forma \dfrac{x}{4^{n-1}} para n=1,2,3,\dots.
  • O valor da soma infinita dessa série é 2.
  • Não há nenhuma outra restrição explícita sobre x no enunciado.

Passo 2

Vamos recordar o que é e quando converge uma série geométrica, porque essa série tem a cara de uma geométrica.
Definição e critério de convergência:
  • Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k},
onde a é o primeiro termo (quando k=0) e r é a razão comum.
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1.
  • Se |r|<1, a soma é dada por
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1-r}.
Explicando as letras: a é o valor do primeiro termo (o termo inicial), r é o fator multiplicativo entre termos consecutivos, e |r| é o valor absoluto de r — precisamos dele menor que 1 para que os termos tendam a zero e a soma exista.

Passo 3

Reescrever a série do enunciado para reconhecê-la como geométrica.
Observe que
\frac{x}{4^{n-1}} = x\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}.
Fazendo a mudança de índice k=n-1 (quando n=1 temos k=0), a soma fica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{4^{n-1}} = x\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}.
Logo é uma série geométrica com primeiro termo
a = x\left(\frac{1}{4}\right)^{0} = x
e razão
r = \frac{1}{4}.

Passo 4

Verificar convergência da série usando o critério geométrico.
Temos |r| = \left|\dfrac{1}{4}\right| = \dfrac{1}{4} < 1, portanto a série converge e podemos usar a fórmula da soma geométrica:
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1-r}.
Aplicando aqui com a=x e r=\dfrac{1}{4},
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{4^{n-1}} = x\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k} = x\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}}.
Calcule o denominador:
1-\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4},
portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{4^{n-1}} = x\cdot\frac{1}{\tfrac{3}{4}} = x\cdot\frac{4}{3} = \frac{4x}{3}.

Passo 5

Usar que a soma dada no enunciado vale 2 para encontrar x.
Temos a igualdade
\frac{4x}{3} = 2.
Resolver essa equação simples: multiplicando ambos os lados por 3,
4x = 6.
Dividindo por 4,
x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.

Resposta

x=\dfrac{3}{2}

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