Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
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04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A série dada é
. - O enunciado pede: determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há uma soma termo a termo composta por duas partes:
e . - Não há outras condições ou imagens a considerar.
Passo 2
Separar a série em duas séries e explicar a propriedade usada.
Para cada
definimos a soma parcial
Pela distributividade da soma finita,
Explicação didática da propriedade: para somas parciais a decomposição termo a termo é sempre válida (somamos termo a termo). Quanto à passagem para o limite
: se as duas séries separadas convergirem, então a série original converge e sua soma é a soma das somas. Se pelo menos uma das séries separadas divergir (tender a
ou não ter limite), então a série original diverge. Aqui vamos estudar cada uma das duas séries separadas:
e
.
Passo 3
Estudo da primeira soma
(parte geométrica).
- Reconhecer que
. Então a série é uma série geométrica com razão . - Lembrar (aula rápida sobre série geométrica): a série geométrica
converge se, e só se, . Quando converge, a soma é Aqui satisfaz , portanto a série converge. - Aplicando a fórmula com o fator
: - Calcular passo a passo:
então - Observação prática: as somas parciais finitas desta parte valem
que tende para quando .
Passo 4
Estudo da segunda soma
(série harmônica).
- Identificar que
é a chamada série harmônica. - Explicar de forma didática por que a série harmônica diverge (duas maneiras curtas; usarei a mais clássica — o teste integral — e dou intuição):
- Teste integral (ensinar): para uma função
positiva e monotonicamente decrescente em , a série convergirá se, e só se, a integral imprópria convergir. Aqui tome . Essa é positiva e decrescente em . - Calcular a integral:
Como a integral diverge, pela regra acima a série também diverge.
- Teste integral (ensinar): para uma função
- Intuição rápida alternativa (Cauchy condensation / comparação): os blocos mostram crescimento como
, mas o teste integral é suficiente e simples. - Conclusão:
diverge (tende para ).
Passo 5
Combinar os resultados e concluir sobre a série original.
- As somas parciais da série original foram separadas em
onde é a soma parcial da série harmônica. - Sabemos que
, enquanto . - Logo
. Em palavras: a parte geométrica contribui com um limite finito , mas a parte harmônica cresce sem limite, então a soma parcial total diverge para . - Portanto a série
diverge.
Resposta
A série diverge (a soma parcial tende a
).