Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{4}{2^{n}}+\frac{1}{n}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A série dada é \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{4}{2^{n}}+\frac{1}{n}\right).
  • O enunciado pede: determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há uma soma termo a termo composta por duas partes: \frac{4}{2^{n}} e \frac{1}{n}.
  • Não há outras condições ou imagens a considerar.

Passo 2

Separar a série em duas séries e explicar a propriedade usada.
Para cada N definimos a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{4}{2^{n}}+\frac{1}{n}\right).
Pela distributividade da soma finita,
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{4}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Explicação didática da propriedade: para somas parciais a decomposição termo a termo é sempre válida (somamos termo a termo). Quanto à passagem para o limite N\to\infty: se as duas séries separadas convergirem, então a série original converge e sua soma é a soma das somas. Se pelo menos uma das séries separadas divergir (tender a \pm\infty ou não ter limite), então a série original diverge. Aqui vamos estudar cada uma das duas séries separadas: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^{n}} e \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 3

Estudo da primeira soma \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^{n}} (parte geométrica).
  • Reconhecer que \frac{4}{2^{n}}=4\left(\frac{1}{2}\right)^{n}. Então a série é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2}.
  • Lembrar (aula rápida sobre série geométrica): a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}converge se, e só se, |r|<1. Quando converge, a soma é \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.Aqui r=\tfrac{1}{2} satisfaz |r|<1, portanto a série converge.
  • Aplicando a fórmula com o fator 4: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^{n}}=4\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} =4\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}.
  • Calcular passo a passo: \frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1,então \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^{n}}=4\cdot 1=4.
  • Observação prática: as somas parciais finitas desta parte valem \sum_{n=1}^{N}\frac{4}{2^{n}}=4\bigl(1-\tfrac{1}{2^{N}}\bigr),que tende para 4 quando N\to\infty.

Passo 4

Estudo da segunda soma \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (série harmônica).
  • Identificar que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a chamada série harmônica.
  • Explicar de forma didática por que a série harmônica diverge (duas maneiras curtas; usarei a mais clássica — o teste integral — e dou intuição):
    • Teste integral (ensinar): para uma função f(x) positiva e monotonicamente decrescente em [1,\infty), a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) convergirá se, e só se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx convergir. Aqui tome f(x)=\dfrac{1}{x}. Essa f é positiva e decrescente em [1,\infty).
    • Calcular a integral: \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{t}=\lim_{t\to\infty}\ln t=\infty.Como a integral diverge, pela regra acima a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} também diverge.
  • Intuição rápida alternativa (Cauchy condensation / comparação): os blocos mostram crescimento como \ln N, mas o teste integral é suficiente e simples.
  • Conclusão: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge (tende para +\infty).

Passo 5

Combinar os resultados e concluir sobre a série original.
  • As somas parciais da série original foram separadas em S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{4}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n} =\Bigl(4-\frac{4}{2^{N}}\Bigr)+H_N,onde H_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n} é a soma parcial da série harmônica.
  • Sabemos que \lim_{N\to\infty}\bigl(4-\tfrac{4}{2^{N}}\bigr)=4, enquanto \lim_{N\to\infty} H_N=+\infty.
  • Logo \lim_{N\to\infty} S_N = 4 + (+\infty) = +\infty. Em palavras: a parte geométrica contribui com um limite finito 4, mas a parte harmônica cresce sem limite, então a soma parcial total diverge para +\infty.
  • Portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{2^{n}}+\frac{1}{n}\right) diverge.

Resposta

A série diverge (a soma parcial tende a +\infty).

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