Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste de comparação.
.
Teste de comparação.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível). Informações dadas e observações imediatas:
- Os termos gerais são positivos: para todo
vale . - A série é do tipo
.
Vou usar o teste de comparação (direto), conforme solicitado pelo enunciado.
Passo 2
Lembrando o enunciado do teste de comparação direto (versão útil para divergência): sejam
e
sequências com
para todo
a partir de certo índice. Se a série
diverge, então a série
também diverge.
Explicando de forma simples: se cada termo de
é maior ou igual ao correspondente de uma série conhecida que “some até infinito” (isto é, diverge), então
também vai para infinito — não pode convergir para um número finito porque seus termos acumulam pelo menos tanto quanto a série divergente.
Passo 3
Escolher uma série comparadora conhecida e divergente. A candidata natural é a série harmônica
que é clássica e divergente.
Agora comparar termo a termo:
para todo temos
(pois para
a raiz quadrada não ultrapassa
). Tomando recíprocos (função decrescente para positivos) obtemos
para todo
Logo, definindo
e
, vale
para todo
.
Passo 4
Recordar (e demonstrar rapidamente) que a série harmônica diverge. Uma prova clássica por agrupamento:
- Os termos agrupados formam desigualdades:
- Assim, os somatórios parciais acumulam pelo menos
, que cresce sem limite. Logo (diverge).
Passo 5
Aplicar o teste de comparação direto: como para todo
vale
e a série
diverge, pela regra do passo 2 concluímos que
também diverge. Além disso, por termos positivos, os somatórios parciais da série em questão são monotonicamente crescentes e crescem sem limite (divergem para
).
Passo 6
Comentário didático extra (útil para a prova): esta série é um caso particular da família das séries-p (
). Para
sabe-se que:
- se
a série converge; - se
a série diverge.
Aqui, então a série diverge — mesmo resultado, via um teste mais direto que às vezes é permitido quando se conhece esse teorema. Mas como o enunciado pedia teste de comparação, aplicamos a comparação direta com a harmônica.
Passo 7
Dica prática para a prova (motivação leve): quando vir
pense automaticamente em série-p com
e lembre que precisa de
para convergir. Se quiser usar comparação, compare com a harmônica (como fizemos) ou com
conhecido. Você já mostrou todas as etapas necessárias: ter termos positivos, estabelecer a desigualdade, e usar a divergência conhecida da série comparadora — isso é suficiente e rápido na prova.
Resposta
Divergente (a série não converge; os somatórios parciais tendem a
).