Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste de comparação.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível). Informações dadas e observações imediatas:
  • Os termos gerais são positivos: para todo n\ge1 vale \dfrac{1}{\sqrt{n}}>0.
  • A série é do tipo \sum n^{-1/2}.
    Vou usar o teste de comparação (direto), conforme solicitado pelo enunciado.

Passo 2

Lembrando o enunciado do teste de comparação direto (versão útil para divergência): sejam (a_n) e (b_n) sequências com 0\le b_n\le a_n para todo n a partir de certo índice. Se a série \sum b_n diverge, então a série \sum a_n também diverge.
Explicando de forma simples: se cada termo de \sum a_n é maior ou igual ao correspondente de uma série conhecida que “some até infinito” (isto é, diverge), então \sum a_n também vai para infinito — não pode convergir para um número finito porque seus termos acumulam pelo menos tanto quanto a série divergente.

Passo 3

Escolher uma série comparadora conhecida e divergente. A candidata natural é a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é clássica e divergente.
Agora comparar termo a termo:
para todo n\ge1 temos \sqrt{n}\le n (pois para n\ge1 a raiz quadrada não ultrapassa n). Tomando recíprocos (função decrescente para positivos) obtemos
\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\frac{1}{n}.
Logo, definindo a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} e b_n=\dfrac{1}{n}, vale 0\le b_n\le a_n para todo n\ge1.

Passo 4

Recordar (e demonstrar rapidamente) que a série harmônica diverge. Uma prova clássica por agrupamento:
  • Os termos agrupados formam desigualdades:
\begin{aligned} 1 &= 1,\\\ \frac{1}{2} &= \frac{1}{2},\\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} &\ge \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2},\\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} &\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2},\\\ \text{e em geral, } \sum_{k=2^{m-1}+1}^{2^{m}}\frac{1}{k} &\ge 2^{m-1}\cdot\frac{1}{2^{m}}=\frac{1}{2}. \end{aligned}
  • Assim, os somatórios parciais acumulam pelo menos 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots, que cresce sem limite. Logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}=\infty (diverge).

Passo 5

Aplicar o teste de comparação direto: como para todo n vale \dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{\sqrt{n}} e a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, pela regra do passo 2 concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
também diverge. Além disso, por termos positivos, os somatórios parciais da série em questão são monotonicamente crescentes e crescem sem limite (divergem para +\infty).

Passo 6

Comentário didático extra (útil para a prova): esta série é um caso particular da família das séries-p ( \sum n^{-p}). Para \sum_{n=1}^{\infty} n^{-p} sabe-se que:
  • se p>1 a série converge;
  • se p\le 1 a série diverge.
    Aqui p=\tfrac{1}{2}\le1, então a série diverge — mesmo resultado, via um teste mais direto que às vezes é permitido quando se conhece esse teorema. Mas como o enunciado pedia teste de comparação, aplicamos a comparação direta com a harmônica.

Passo 7

Dica prática para a prova (motivação leve): quando vir \dfrac{1}{\sqrt{n}} pense automaticamente em série-p com p=\tfrac{1}{2} e lembre que precisa de p>1 para convergir. Se quiser usar comparação, compare com a harmônica (como fizemos) ou com 1/n^p conhecido. Você já mostrou todas as etapas necessárias: ter termos positivos, estabelecer a desigualdade, e usar a divergência conhecida da série comparadora — isso é suficiente e rápido na prova.

Resposta

Divergente (a série não converge; os somatórios parciais tendem a +\infty).

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