Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste de comparação.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\operatorname{sen} n|}{n^{5}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n^{5}}
e pede: (i) determinar se a série é convergente ou divergente; (ii) se for convergente, calcular a sua soma, quando possível.
Informações importantes que temos explicitamente: para todo n o termo é \dfrac{|\sin n|}{n^{5}}, ou seja, termos não-negativos. Não há outros dados numéricos na questão.

Passo 2

Vou recordar o teste de comparação direta (a ferramenta que o enunciado pediu). Seja (a_n) e (b_n) sequências de termos não-negativos. O teste diz:
  • Se existir N tal que, para todo n\ge N, 0 \le a_n \le b_n e a série \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Intuição: se os termos a_n são sempre menores que termos de uma série convergente \sum b_n, então \sum a_n não pode “somar” mais do que \sum b_n, logo também converge.
Aqui eu explico o que cada símbolo significa para você não se perder:
  • \sum a_n é a somatória infinita cujos termos são a_n.
  • Convergir significa que as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n têm limite finito quando N\to\infty.

Passo 3

Agora vou encontrar uma série comparadora conveniente. Usamos a desigualdade básica para o seno: para todo n inteiro,
0 \le |\sin n| \le 1.
Isso implica, para todo n\ge 1,
0 \le \frac{|\sin n|}{n^{5}} \le \frac{1}{n^{5}}.
Aqui eu peguei o fato |\sin n|\le 1 diretamente da função seno (essa é uma propriedade elementar: seno de qualquer número está entre -1 e 1).

Passo 4

Aplico agora o conhecimento sobre séries p (p-series). A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge exatamente quando p>1. No nosso caso temos p=5, que satisfaz 5>1. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}
é convergente. (Rápida intuição: para p>1 a cauda 1/n^{p} decai rápido o suficiente para que as somas parciais tenham limite; esta é uma propriedade padrão demonstrada, por exemplo, com o teste da integral.)

Passo 5

Agora ligamos os passos: temos 0 \le \dfrac{|\sin n|}{n^{5}} \le \dfrac{1}{n^{5}} para todo n, e sabemos que \sum \dfrac{1}{n^{5}} converge. Pelo teste de comparação direta, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n^{5}}
converge. Como os termos já são não-negativos, essa convergência é, na prática, de tipo absoluto (a noção de “absoluta” é trivial aqui porque os termos estão dentro de valor absoluto).

Passo 6

Sobre calcular a soma numérica exata: a série envolve os valores |\sin n| avaliados em inteiros n. Não existe, em geral, uma forma fechada conhecida e simples para a soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n^{5}}.
Dito de outro modo: podemos afirmar a convergência, e podemos aproximar numericamente a soma computando muitas parcelas, mas não há expressão elementar padrão (como polinômios, constantes elementares ou funções elementares simples) que dê essa soma exata. Se quiser, dá para obter aproximação numérica por soma das primeiras muitas parcelas, mas isso foge do pedido de prova que normalmente só exige decidir convergência.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).
A soma não possui forma fechada conhecida (pode ser aproximada numericamente, mas não há expressão fechada simples).

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