Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste de comparação.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} n}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^{2}n}{3^{n}}
e pede para decidir se ela converge ou diverge usando teste de comparação; se convergir, calcular a soma quando possível. Informações relevantes fornecidas:
  • Para todo n, \cos^{2}n é não-negativo e satisfaz 0\le \cos^{2}n\le 1.
  • O denominador 3^{n} é positivo e decrescente geometricamente.
    A partir daqui vamos aplicar o teste de comparação e, depois, calcular a soma exata.

Passo 2

Lembrete do teste de comparação (versão simples, para séries de termos não-negativos):
Se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
Aplicando ao nosso caso, tome
a_n=\frac{\cos^{2}n}{3^{n}},\qquad b_n=\frac{1}{3^{n}}.
Como 0\le \cos^{2}n\le 1, segue que 0\le a_n\le b_n para todo n. Agora só falta verificar a convergência de \sum b_n.

Passo 3

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3} (com |r|<1), portanto converge. A soma dessa geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{2}.
Pelo teste de comparação, como 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, a série original converge. Como os termos são não-negativos, a convergência é, na prática, absoluta.

Passo 4

Agora vamos calcular a soma exata. Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}n=\frac{1+\cos(2n)}{2}.
Substituindo na série,
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^{2}n}{3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3^{n}} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos(2n)}{3^{n}}.
Ou seja,
S=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n)}{3^{n}}.

Passo 5

Já calculamos a primeira soma:
\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Falta então calcular
T=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n)}{3^{n}}.
Uma forma prática é usar números complexos: \cos(2n)=\Re\big(e^{i2n}\big). Então
T=\Re\!\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{i2n}}{3^{n}}\right) =\Re\!\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i2}}{3}\right)^{n}\right).
Como \left|\dfrac{e^{i2}}{3}\right|=\dfrac{1}{3}<1, a série geométrica complexa converge e vale
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i2}}{3}\right)^{n}=\frac{\dfrac{e^{i2}}{3}}{1-\dfrac{e^{i2}}{3}}=\frac{e^{i2}}{3-e^{i2}}.
Portanto
T=\Re\!\left(\frac{e^{i2}}{3-e^{i2}}\right).

Passo 6

Calculemos explicitamente a parte real. Denote a=\cos 2 e b=\sin 2, de modo que e^{i2}=a+ib. Então
\frac{e^{i2}}{3-e^{i2}}=\frac{a+ib}{3-a-ib}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador,
\frac{a+ib}{3-a-ib}=\frac{(a+ib)(3-a+ib)}{(3-a)^{2}+b^{2}}.
Expansão do numerador:
(a+ib)(3-a+ib)=a(3-a)-b^{2}+i\big(ab+b(3-a)\big).
Usando a^{2}+b^{2}=1 (pois a=\cos2,b=\sin2), simplifica-se a parte real do numerador:
a(3-a)-b^{2}=3a-a^{2}-(1-a^{2})=3a-1.
O denominador é
(3-a)^{2}+b^{2}=9-6a+a^{2}+b^{2}=9-6a+1=10-6a.
Assim
T=\Re\!\left(\frac{e^{i2}}{3-e^{i2}}\right)=\frac{3a-1}{10-6a}=\frac{3\cos 2-1}{10-6\cos 2}.

Passo 7

Voltando para S,
S=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}T =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3\cos 2-1}{10-6\cos 2}.
Vamos simplificar essa expressão. Colocando sobre denominador comum 4(10-6\cos2):
S=\frac{10-6\cos2}{4(10-6\cos2)}+\frac{2(3\cos2-1)}{4(10-6\cos2)} =\frac{10-6\cos2+6\cos2-2}{4(10-6\cos2)}=\frac{8}{4(10-6\cos2)}.
Portanto
S=\frac{8}{40-24\cos2}=\frac{1}{5-3\cos2}.

Passo 8

Resumo final e palavra de ânimo: a série é de termos não-negativos e foi comparada com uma geométrica convergente, logo converge (absolutamente). Fizemos a soma usando identidades trigonométricas e a soma de uma geométrica complexa, chegando a uma forma muito simples e elegante: \dfrac{1}{5-3\cos 2}. Mandou bem por pedir o teste de comparação — ele garantiu a convergência e depois conseguimos a soma exata.

Resposta

A série converge absolutamente e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^{2}n}{3^{n}}=\frac{1}{5-3\cos 2}.

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