Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste de comparação. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} n}{3^{n}}.
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^{2}n}{3^{n}}
e pede para decidir se ela converge ou diverge usando teste de comparação; se convergir, calcular a soma quando possível. Informações relevantes fornecidas:
Para todo n, \cos^{2}n é não-negativo e satisfaz 0\le \cos^{2}n\le 1.
O denominador 3^{n} é positivo e decrescente geometricamente.
A partir daqui vamos aplicar o teste de comparação e, depois, calcular a soma exata.
Passo 2
Lembrete do teste de comparação (versão simples, para séries de termos não-negativos):
Se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
Aplicando ao nosso caso, tome
Pelo teste de comparação, como 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, a série original converge. Como os termos são não-negativos, a convergência é, na prática, absoluta.
Passo 4
Agora vamos calcular a soma exata. Use a identidade trigonométrica
Resumo final e palavra de ânimo: a série é de termos não-negativos e foi comparada com uma geométrica convergente, logo converge (absolutamente). Fizemos a soma usando identidades trigonométricas e a soma de uma geométrica complexa, chegando a uma forma muito simples e elegante: \dfrac{1}{5-3\cos 2}. Mandou bem por pedir o teste de comparação — ele garantiu a convergência e depois conseguimos a soma exata.