Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste de comparação com limite
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Teste de comparação com limite
Passo 1
O enunciado dá a sequência dos termos da soma e pede duas coisas:
- Determinar se a série
converge ou diverge. - Se for convergente, calcular a soma, se possível.
Informação dada (já escrita em texto matemático):
Passo 2
Vamos testar a convergência usando o teste de comparação com limite (variante do teste de comparação). Primeiro defino uma sequência de comparação simples e conhecida:
Motivo:
é a sequência de termos de uma série geométrica com razão
, cuja soma é conhecida e finita (logo
converge). Agora vou calcular o limite do quociente
.
Passo 3
Calcular o limite do quociente:
Interpretação do resultado do teste de comparação com limite:
- Se
com , então o comportamento da convergência de é controlado por no sentido que: - se
então ambas convergem ou ambas divergem; - se
e converge, então também converge (pois é “menor” que para grande, até constante multiplicativa).
Aqui encontramose sabemos que converge (série geométrica com razão ), portanto concluímos que converge.
- se
Passo 4
Resumo da conclusão de convergência:
Como e
converge, então
converge.
Como
Passo 5
Agora vamos calcular a soma explicitamente. Vamos usar uma identidade de séries de potências obtida integrando a série geométrica.
Começo da identidade: para
vale a soma da série geométrica
Integro ambos os lados em relação a
de
até
(integração termo a termo é válida em
):
No lado esquerdo integrou-se termo a termo:
No lado direito a integral é elementar:
Portanto obtemos a identidade válida para
:
Passo 6
Aplico a identidade com
(que satisfaz
):
Assim a soma da série pedida é
.