Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste de comparação com limite
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n 2^{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência dos termos da soma e pede duas coisas:
  • Determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\,2^{n}} converge ou diverge.
  • Se for convergente, calcular a soma, se possível.
Informação dada (já escrita em texto matemático):
a_n=\frac{1}{n\,2^{n}},\qquad n=1,2,3,\dots

Passo 2

Vamos testar a convergência usando o teste de comparação com limite (variante do teste de comparação). Primeiro defino uma sequência de comparação simples e conhecida:
b_n=\frac{1}{2^{n}}.
Motivo: \{b_n\} é a sequência de termos de uma série geométrica com razão 1/2, cuja soma é conhecida e finita (logo \sum b_n converge). Agora vou calcular o limite do quociente a_n/b_n.

Passo 3

Calcular o limite do quociente:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n\,2^{n}}}{\dfrac{1}{2^{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} =0.
Interpretação do resultado do teste de comparação com limite:
  • Se \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L com 0\le L<\infty, então o comportamento da convergência de \sum a_n é controlado por \sum b_n no sentido que:
    • se L>0 então ambas convergem ou ambas divergem;
    • se L=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge (pois a_n é “menor” que b_n para n grande, até constante multiplicativa).
      Aqui encontramos L=0 e sabemos que \sum b_n=\sum 1/2^n converge (série geométrica com razão 1/2), portanto concluímos que \sum a_n converge.

Passo 4

Resumo da conclusão de convergência:
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=0 e \sum b_n converge, então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}} converge.

Passo 5

Agora vamos calcular a soma explicitamente. Vamos usar uma identidade de séries de potências obtida integrando a série geométrica.
Começo da identidade: para |x|<1 vale a soma da série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}.
Integro ambos os lados em relação a t de 0 até x (integração termo a termo é válida em |x|<1):
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}\,dt = \int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt.
No lado esquerdo integrou-se termo a termo:
\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}.
No lado direito a integral é elementar:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt = -\ln(1-x).
Portanto obtemos a identidade válida para |x|<1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} = -\ln(1-x).

Passo 6

Aplico a identidade com x=\dfrac{1}{2} (que satisfaz |x|<1):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = -\ln\!\left(1-\frac{1}{2}\right) = -\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2.
Assim a soma da série pedida é \ln 2.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}}=\ln 2

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