Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste das séries alternadas.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2 n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma, se possível.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n}\dfrac{1}{2n}.
  • Não há outras informações numéricas além da expressão do termo geral.
O que é pedido:
  1. Decidir convergência ou divergência da série.
  2. Se convergente, calcular a soma (quando possível).
  3. Identificar se a convergência é absoluta ou condicional.

Passo 2

Vamos aplicar o teste das séries alternadas (critérios de Leibniz). Primeiro, escrevo a série na forma padrão usada no teste: uma sequência de sinais alternados multiplicando termos positivos. Defino
b_n=\frac{1}{2n},
de modo que a_n = (-1)^n b_n e b_n>0 para todo n.
O teste de Leibniz diz: se (b_n) é monótona decrescente (ou não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^n b_n converge. Vou verificar essas duas condições para b_n.

Passo 3

Verificação de que b_n tende a zero:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} = 0,
porque n\to\infty faz 1/(2n) ir para zero.
Verificação de que b_n é decrescente:
Comparo b_{n+1} com b_n:
b_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)}<\frac{1}{2n}=b_n,
para todo n\ge 1. Logo (b_n) é estritamente decrescente.
Portanto ambas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n}
converge. Observação: ainda não é decidido se é convergência absoluta — isso será checado em passos seguintes.

Passo 5

Agora calculamos a soma, usando uma série conhecida. Lembrar a série geométrica e suas manipulações: para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}.
Integrando termo a termo de 0 a x (válido para |x|\le1 com convergência condicional no extremo x=1), obtemos a série de Taylor de \ln(1+x):
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n},\qquad\text{para }-1<x\le1.
Tomando x=1 (caso clássico, converge condicionalmente), resulta a série alternada harmônica:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\ln 2.

Passo 6

Usamos a identidade anterior para avaliar a nossa série. Note que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}.
Mas \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}=-\ln 2. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\cdot(-\ln 2)=-\frac{\ln 2}{2}.

Passo 7

Verificação da convergência absoluta: considere a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{1}{2n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Mas \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica, que diverge. Logo \sum |a_n| diverge, e a convergência encontrada é condicional (não é absoluta).

Resposta

A série converge condicionalmente; soma -\dfrac{\ln 2}{2}

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