Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste das séries alternadas. \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2 n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma, se possível.
Informações dadas:
O termo geral da série é a_n = (-1)^{n}\dfrac{1}{2n}.
Não há outras informações numéricas além da expressão do termo geral.
O que é pedido:
Decidir convergência ou divergência da série.
Se convergente, calcular a soma (quando possível).
Identificar se a convergência é absoluta ou condicional.
Passo 2
Vamos aplicar o teste das séries alternadas (critérios de Leibniz). Primeiro, escrevo a série na forma padrão usada no teste: uma sequência de sinais alternados multiplicando termos positivos. Defino
b_n=\frac{1}{2n},
de modo que a_n = (-1)^n b_n e b_n>0 para todo n.
O teste de Leibniz diz: se (b_n) é monótona decrescente (ou não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^n b_n converge. Vou verificar essas duas condições para b_n.
Mas \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica, que diverge. Logo \sum |a_n| diverge, e a convergência encontrada é condicional (não é absoluta).
Resposta
A série converge condicionalmente; soma -\dfrac{\ln 2}{2}