Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para testar convergência da série e, se for convergente, calcular a soma (se possível). A série dada é:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}.
O enunciado instrui a usar o Teste da Raiz. As informações relevantes são:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{n}}, que é positivo para todo n.
  • Precisamos decidir convergência/divergência usando o Teste da Raiz e, em caso de convergência, obter a soma (ou uma aproximação, se não houver forma fechada simples).

Passo 2

Vou explicar o Teste da Raiz de forma didática e passo a passo.
Definição do Teste da Raiz (forma prática para séries de termos não-negativos):
Seja a_n\ge 0. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição e por que funciona (resumo sem prova técnica):
  • A ideia é comparar a_n com uma progressão geométrica. Se \sqrt[n]{a_n} tende para um número menor que 1, então para n grandes a_n se comporta como c^n com c<1, e a soma de tais termos é finita (como uma geométrica). Se a raiz tende a algo maior que 1, os termos não vão a zero e a série diverge. O caso L=1 exige outros testes.

Passo 3

Agora aplico o Teste da Raiz ao nosso termo a_n=\dfrac{1}{n^{n}}.
Calcule a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n}}}=\frac{1}{n}.
Agora faço o limite (ou lim sup):
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como 0<1, o Teste da Raiz dá L=0<1. Portanto a série converge absolutamente (isto é, converge).
Comentário intuitivo: os termos 1/n^n decaem extremamente rápido — muito mais rápido que uma geométrica (1/2)^n, por exemplo — então a soma é finita.

Passo 4

Como a série converge, vamos analisar a soma. Primeiro, algumas observações didáticas sobre calcular somas:
  • Nem toda série convergente tem soma expressável em termos de funções elementares conhecidas; algumas têm apenas valores numéricos que podem ser aproximados arbitrariamente bem.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{n}} é um exemplo clássico que converge rapidamente, mas não possui uma forma fechada simples em termos de constantes elementares conhecidas. Portanto a melhor resposta é dar uma aproximação numérica com justificativa de precisão.
Vou construir somas parciais para ver a rapidez da convergência (cada passo mostrando as contas):
\begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{1^1}=1,\\\ S_2 &= S_1+\frac{1}{2^2}=1+\frac{1}{4}=1,25,\\\ S_3 &= S_2+\frac{1}{3^3}=1{,}25+\frac{1}{27}=1{,}287037037\ldots,\\\ S_4 &= S_3+\frac{1}{4^4}=1{,}287037037+\frac{1}{256}=1{,}290943287\ldots,\\\ S_5 &= S_4+\frac{1}{5^5}=1{,}290943287+\frac{1}{3125}=1{,}291263287\ldots,\\\ S_6 &= S_5+\frac{1}{6^6}=1{,}291263287+\frac{1}{46656}=1{,}2912847205\ldots \end{aligned}
Já com n=6 a soma parcial está em 1{,}2912847 e os termos seguintes são muito pequenos: \dfrac{1}{7^{7}}\approx 1{,}2\times10^{-6}, \dfrac{1}{8^{8}}\approx 1{,}5\times10^{-7}, etc., então a soma converge muito rapidamente.
Para dar uma garantia de erro simples: para k\ge 4 vale k^{-k}\le 4^{-k} (pois k\ge4\Rightarrow 1/k\le1/4), logo, para N\ge 4,
\sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{k^{k}} \le \sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{4^{k}}=\frac{4^{-(N+1)}}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{4^{-N}}{3}.
Esse é um limite grosseiro mas prático: por exemplo, tomando N=4 obtemos que o resto após S_4 é menor que 4^{-4}/3=\dfrac{1}{768}\approx0{,}00130208, compatível com a rapidez que vemos nas somas parciais. Com N=6 o resto é ainda muito menor.
Finalmente, a soma numérica (valor conhecido) é aproximadamente
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}\approx 1{,}29128599706266\ldots
Não existe expressão elementar simples conhecida para essa constante; a forma mais prática é a aproximação numérica mostrada.

Resposta

Convergente (absoluta)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}\approx 1{,}29128599706266

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