Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}.
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}.
Passo 1
O enunciado pede para testar convergência da série e, se for convergente, calcular a soma (se possível). A série dada é:
O enunciado instrui a usar o Teste da Raiz. As informações relevantes são:
- O termo geral é
, que é positivo para todo . - Precisamos decidir convergência/divergência usando o Teste da Raiz e, em caso de convergência, obter a soma (ou uma aproximação, se não houver forma fechada simples).
Passo 2
Vou explicar o Teste da Raiz de forma didática e passo a passo.
Definição do Teste da Raiz (forma prática para séries de termos não-negativos):
Seja . Defina
Seja
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição e por que funciona (resumo sem prova técnica):
- A ideia é comparar
com uma progressão geométrica. Se tende para um número menor que , então para grandes se comporta como com , e a soma de tais termos é finita (como uma geométrica). Se a raiz tende a algo maior que , os termos não vão a zero e a série diverge. O caso exige outros testes.
Passo 3
Agora aplico o Teste da Raiz ao nosso termo
.
Calcule a raiz n-ésima:
Agora faço o limite (ou lim sup):
Como
, o Teste da Raiz dá
. Portanto a série converge absolutamente (isto é, converge).
Comentário intuitivo: os termos
decaem extremamente rápido — muito mais rápido que uma geométrica
, por exemplo — então a soma é finita.
Passo 4
Como a série converge, vamos analisar a soma. Primeiro, algumas observações didáticas sobre calcular somas:
- Nem toda série convergente tem soma expressável em termos de funções elementares conhecidas; algumas têm apenas valores numéricos que podem ser aproximados arbitrariamente bem.
- A série
é um exemplo clássico que converge rapidamente, mas não possui uma forma fechada simples em termos de constantes elementares conhecidas. Portanto a melhor resposta é dar uma aproximação numérica com justificativa de precisão.
Vou construir somas parciais para ver a rapidez da convergência (cada passo mostrando as contas):
Já com
a soma parcial está em
e os termos seguintes são muito pequenos:
,
, etc., então a soma converge muito rapidamente.
Para dar uma garantia de erro simples: para
vale
(pois
), logo, para
,
Esse é um limite grosseiro mas prático: por exemplo, tomando
obtemos que o resto após
é menor que
, compatível com a rapidez que vemos nas somas parciais. Com
o resto é ainda muito menor.
Finalmente, a soma numérica (valor conhecido) é aproximadamente
Não existe expressão elementar simples conhecida para essa constante; a forma mais prática é a aproximação numérica mostrada.
Resposta
Convergente (absoluta)