Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1 \cdot 3{n+1}}}{7{n}}.
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1 \cdot 3{n+1}}}{7{n}}.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série e, se possível, calcular a soma. A série dada é
Informações relevantes:
- O termo geral é
. (Interpretei o expoente de como .) - O enunciado indica usar o Teste da Raiz.
Passo 2
Explicação didática do Teste da Raiz (versão prática que usaremos).
- Seja uma série
com . Define-se
- Regras do teste:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
(ou ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
- O que significa
: é a raiz enésima do termo . Uma propriedade útil é quando .
Exemplo rápido e intuitivo: para uma série geométrica
temos
, e o teste da raiz recupera que a condição de convergência é
.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz ao termo
. Primeiro escrevemos a raiz enésima:
Usando
obtemos
Passo 4
Analisando o expoente de
na expressão acima:
Quando
temos
e
. Portanto o produto
Conclusão sobre a raiz enésima: como o expoente tende a
, a potência
tende a
. Assim
Passo 5
Portanto o valor
o que satisfaz
.
Resposta
A série diverge.