Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1 \cdot 3{n+1}}}{7{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série e, se possível, calcular a soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}}{7^{n}}.
Informações relevantes:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{2^{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}}{7^{n}}. (Interpretei o expoente de 2 como (n-1)\cdot 3^{\,n+1}.)
  • O enunciado indica usar o Teste da Raiz.

Passo 2

Explicação didática do Teste da Raiz (versão prática que usaremos).
  • Seja uma série \sum a_n com a_n\ge 0. Define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
  • Regras do teste:
    • Se L<1, a série converge absolutamente.
    • Se L>1 (ou L=+\infty), a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • O que significa \sqrt[n]{a_n}: é a raiz enésima do termo a_n. Uma propriedade útil é \sqrt[n]{b^m}=b^{m/n} quando b>0.
Exemplo rápido e intuitivo: para uma série geométrica \sum r^n temos \sqrt[n]{|r^n|}=|r|, e o teste da raiz recupera que a condição de convergência é |r|<1.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz ao termo a_n=\dfrac{2^{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}}{7^{n}}. Primeiro escrevemos a raiz enésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{\sqrt[n]{2^{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}}}{\sqrt[n]{7^{n}}}.
Usando \sqrt[n]{b^m}=b^{m/n} obtemos
\sqrt[n]{a_n}=\frac{2^{\frac{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}{n}}}{7}.

Passo 4

Analisando o expoente de 2 na expressão acima:
\frac{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}{n}=\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\,3^{\,n+1}.
Quando n\to\infty temos \big(1-\dfrac{1}{n}\big)\to 1 e 3^{\,n+1}\to+\infty. Portanto o produto
\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\,3^{\,n+1}\to +\infty.
Conclusão sobre a raiz enésima: como o expoente tende a +\infty, a potência 2^{\frac{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}{n}} tende a +\infty. Assim
\sqrt[n]{a_n}=\frac{2^{\frac{(n-1)\cdot 3^{\,n+1}}{n}}}{7}\longrightarrow +\infty.

Passo 5

Portanto o valor
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=+\infty,
o que satisfaz L>1.

Resposta

A série diverge.

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