Em cada exercicio, sảo dadas duas séries com aparência semelhante. Teste cada uma para saber se é convergente ou divergente.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Este é um caso clássico de série alternada, então vamos usar dois testes: o teste de convergência absoluta (via p-série) e o teste de Leibniz (série alternada).
Passo 2
Teste de convergência absoluta. Avaliamos
Isto é uma p-série com p=tfrac12. Como p<=1, sabemos que
sumn=1^infty1n^1/2
é divergente. Logo a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Teste de Leibniz para séries alternadas. Escrevemos an=(-1)^n bn com
bn=1n^1/2>0
Precisamos verificar:
bn é decrescente para n>=1. De fato, a função xmapsto x^-1/2 é decrescente, então bn+1<bn.
limntoinftybn=limntoinfty1n^1/2=0
Como as duas condições do teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada converge.
Resposta
A série converge, mas não absolutamente. Em outras palavras, ela é condicionalmente convergente.