Em cada exercicio, sảo dadas duas séries com aparência semelhante. Teste cada uma para saber se é convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty (-1)^nn^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nn^1/2
Este é um caso clássico de série alternada, então vamos usar dois testes: o teste de convergência absoluta (via p-série) e o teste de Leibniz (série alternada).

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Avaliamos
sumn=1^inftyl|(-1)^nn^1/2r|=sumn=1^infty1n^1/2
Isto é uma p-série com p=tfrac12. Como p<=1, sabemos que
sumn=1^infty1n^1/2
é divergente. Logo a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Teste de Leibniz para séries alternadas. Escrevemos an=(-1)^n bn com
bn=1n^1/2>0
Precisamos verificar:
  1. bn é decrescente para n>=1. De fato, a função xmapsto x^-1/2 é decrescente, então bn+1<bn.
  2. limntoinftybn=limntoinfty1n^1/2=0
Como as duas condições do teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada converge.

Resposta

A série converge, mas não absolutamente. Em outras palavras, ela é condicionalmente convergente.

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