Questão 2 ( 2,5 pontos) Derive a função.
y=tan ^-1(x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y = tan^-1(x). O conteúdo aqui é derivada de função inversa, e usaremos diferenciação implícita para encontrar tfracdydx.

Passo 2

Partimos da relação inversa
tan(y) = x,
pois tan^-1 é a inversa de tan.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x, no lado esquerdo usamos a regra da cadeia:
ddx[tan(y)] = sec^2(y),dydx,
enquanto no lado direito
ddx[x] = 1

Passo 4

Igualando as derivadas, obtemos
sec^2(y),dydx = 1 Longrightarrow dydx = 1sec^2(y) = cos^2(y)

Passo 5

Para eliminar y, usamos a identidade trigonométrica
sec^2(y) = 1 + tan^2(y)
Como tan(y)=x, segue que sec^2(y)=1+x^2 e, portanto,
cos^2(y) = 1sec^2(y) = 11+x^2
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dydx = 11 + x^2

Resposta

dydx = 11 + x^2

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