Calcule a derivada das funções compostas e simplifique, se possível:
f(x)=ln (x^5cos (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta
f(x)=ln!l(tfracx^5cos(x)r)
O conteúdo principal é derivada de logaritmo e uso de propriedades de log para simplificar antes de diferenciar.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmo que diz
ln!l(tfracx^5cos(x)r) =ln(x^5)-ln(cos(x))
e, pela propriedade de potência,
ln(x^5)=5ln(x)
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f(x)=5ln(x)-ln(cos(x))

Passo 3

Derivamos termo a termo usando que
ddxl[ln(x)r]=1x e ddxl[ln(cos(x))r] =-sin(x)cos(x)=-tan(x)
Assim,
f'(x)=5cdot1x-l(-tan(x)r) =5x+tan(x)

Passo 4

Podemos deixar a resposta num único quociente comum, se quisermos:
f'(x) =5x+tan(x) =5 + x,tan(x)x

Resposta

f'(x)=5x+tan(x)

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