Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    A concentração de glicose (mg/dL) no sangue de 10 indivíduos em jejum:
    85, 91, 104, 99, 110, 95, 88, 92, 107, 100.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que já temos).\n
  • Pedido: calcular a média amostral, o desvio padrão amostral, a mediana amostral, os quartis; construir o histograma e construir o boxplot da amostra.\n
  • Dados (concentração de glicose em mg/dL) fornecidos: \;85,\;91,\;104,\;99,\;110,\;95,\;88,\;92,\;107,\;100.\n
    Fim do Passo 1 — agora vamos calcular tudo passo a passo.

Passo 2

Organizar a amostra (sempre começar ordenando os dados para mediana e quartis).\n
  • Primeiro conto quantos valores há: n=10.\n
  • Ordenando os dados em ordem crescente (peguei os números do enunciado e ordenei): 85,\;88,\;91,\;92,\;95,\;99,\;100,\;104,\;107,\;110.

Passo 3

Cálculo da média amostral — explicando a fórmula e aplicando.\n
  • Fórmula da média amostral: \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores da amostra.\n
  • Soma dos valores (peguei cada valor ordenado acima e somei): \sum_{i=1}^{10} x_i = 85+88+91+92+95+99+100+104+107+110 = 971.
  • Portanto a média é \bar{x}=\frac{971}{10}=97{,}1\\ \text{mg/dL}.
Interpretação rápida: a glicemia média da amostra é \;97{,}1 mg/dL.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral — passo a passo e explicação didática.\n
  • Fórmula do desvio padrão amostral (usamos o estimador amostral com n-1 no denominador): s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde s é o desvio padrão amostral, x_i cada observação e \bar{x} a média amostral.\n
  • Primeiro calculamos cada desvio x_i-\bar{x} e seu quadrado (x_i-\bar{x})^2. Vou listar os pares (x_i,\;x_i-\bar{x},\;(x_i-\bar{x})^2) usando \bar{x}=97{,}1:\n
\begin{array}{lcl} 85: & 85-97{,}1 = -12{,}1 & (-12{,}1)^2 = 146{,}41\\[2pt] 88: & 88-97{,}1 = -9{,}1 & (-9{,}1)^2 = 82{,}81\\[2pt] 91: & 91-97{,}1 = -6{,}1 & (-6{,}1)^2 = 37{,}21\\[2pt] 92: & 92-97{,}1 = -5{,}1 & (-5{,}1)^2 = 26{,}01\\[2pt] 95: & 95-97{,}1 = -2{,}1 & (-2{,}1)^2 = 4{,}41\\[2pt] 99: & 99-97{,}1 = 1{,}9 & (1{,}9)^2 = 3{,}61\\[2pt] 100:& 100-97{,}1 = 2{,}9 & (2{,}9)^2 = 8{,}41\\[2pt] 104:& 104-97{,}1 = 6{,}9 & (6{,}9)^2 = 47{,}61\\[2pt] 107:& 107-97{,}1 = 9{,}9 & (9{,}9)^2 = 98{,}01\\[2pt] 110:& 110-97{,}1 = 12{,}9 & (12{,}9)^2 = 166{,}41 \end{array}
  • Soma dos quadrados dos desvios: \sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 146{,}41+82{,}81+37{,}21+26{,}01+4{,}41+3{,}61+8{,}41+47{,}61+98{,}01+166{,}41 = 620{,}90.
  • Variância amostral (estimador com n-1): s^2=\frac{620{,}90}{n-1}=\frac{620{,}90}{9}=68{,}988\overline{8}.
  • Desvio padrão amostral: s=\sqrt{68{,}988\overline{8}}\approx 8{,}306\\ \text{mg/dL}.
Arredondei para três casas decimais: \;s\approx 8{,}306 mg/dL.\n
Interpretação: em média os valores desviam da média por cerca de \;8{,}3 mg/dL.]

Passo 5

Cálculo da mediana — explicação e aplicação.\n
  • Regra (caso n par): se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais (os elementos de posição n/2 e n/2+1 na amostra ordenada).\n
  • Aqui n=10 (par). Os dois valores centrais são a 5ª e a 6ª observação da amostra ordenada: \text{5º}=95,\qquad \text{6º}=99.ºº
  • Portanto a mediana é \text{mediana}=\frac{95+99}{2}= \frac{194}{2}=97.
Mediana amostral: \;97 mg/dL.

Passo 6

Cálculo dos quartis — método usado e aplicação passo a passo.\n
  • Vou usar o método comum: como n é par, dividimos a amostra ordenada em duas metades iguais (os 5 menores e os 5 maiores) e calculamos as medianas dessas metades.\n
  • Metade inferior (primeiros 5 valores): 85,\;88,\;91,\;92,\;95.
A mediana dessa metade (valor central, 3º nesta metade) é \;91. Então \;Q_1=91.\n
  • Metade superior (últimos 5 valores): 99,\;100,\;104,\;107,\;110.
A mediana dessa metade é o valor central \;104. Então \;Q_3=104.\n
  • Intervalo interquartil (IQR): \text{IQR}=Q_3-Q_1=104-91=13.

Passo 7

Construção do histograma — escolha de classes, contagem das frequências e desenho (descrição).\n
  • Escolha prática: como temos n=10 e os dados vão de 85 a 110, uma escolha simples é usar classes de largura \;5 mg/dL. Começo em \;85. As classes (intervalos) ficam assim (coloquei os intervalos com limite inferior inclusivo e limite superior exclusivo, exceto a última classe que inclui o valor máximo):\n
\begin{array}{l} \text{Classe 1: }85\le x<90\\\ \text{Classe 2: }90\le x<95\\\ \text{Classe 3: }95\le x<100\\\ \text{Classe 4: }100\le x<105\\\ \text{Classe 5: }105\le x<110\\\ \text{Classe 6: }110\le x\le 115 \end{array}
  • Contagem (peguei cada dado ordenado e o coloquei na classe correspondente):\n
\begin{array}{l} \text{Classe 1 }(85\le x<90):\;85,\;88 \Rightarrow \text{freq}=2\\[2pt] \text{Classe 2 }(90\le x<95):\;91,\;92 \Rightarrow \text{freq}=2\\[2pt] \text{Classe 3 }(95\le x<100):\;95,\;99 \Rightarrow \text{freq}=2\\[2pt] \text{Classe 4 }(100\le x<105):\;100,\;104 \Rightarrow \text{freq}=2\\[2pt] \text{Classe 5 }(105\le x<110):\;107 \Rightarrow \text{freq}=1\\[2pt] \text{Classe 6 }(110\le x\le115):\;110 \Rightarrow \text{freq}=1 \end{array}
  • Como desenhar o histograma: no eixo horizontal coloca-se as classes (por exemplo marcar 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115) e no eixo vertical as frequências. Para cada classe desenhe um retângulo com altura igual à frequência mostrada acima.\n
  • Exemplo ASCII simplificado (cada ‘*’ = 1 observação) — isto é só um esboço textual para visualizar: \n
\begin{array}{l} 85\!-\!90:\; **\\\\ 90\!-\!95:\; **\\\\ 95\!-\!100:\; **\\\\ 100\!-\!105:\; **\\\\ 105\!-\!110:\; *\\\\ 110\!-\!115:\; * \end{array}
Isso corresponde às frequências (2,2,2,2,1,1).]

Passo 8

Construção do boxplot — cinco números, regas de outlier e desenho.\n
  • Cinco números (peguei diretamente da amostra ordenada e dos quartis já calculados):\n
\text{mín}=85,\quad Q_1=91,\quad \text{mediana}=97,\quad Q_3=104,\quad \text{máx}=110.íá
  • Regra de outliers (1{,}5 vezes o IQR):\n
1{,}5\times\text{IQR}=1{,}5\times 13=19{,}5.
Fronteiras (fences):\n
\text{limite inferior}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=91-19{,}5=71{,}5,
\text{limite superior}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=104+19{,}5=123{,}5.
Como todos os pontos da amostra estão entre 71{,}5 e 123{,}5 (na verdade entre 85 e 110), não há outliers segundo a regra de 1{,}5\cdot\text{IQR}.\n
  • Como desenhar o boxplot: desenhe uma caixa (box) do Q_1=91 até Q_3=104, trace uma linha vertical dentro da caixa em \text{mediana}=97. Desenhe os whiskers (linhas) saindo da caixa até o menor valor 85 e até o maior valor 110. Não marque outliers pois não há.\n
  • Observação interpretativa: o boxplot mostra que a metade central dos dados (entre 91 e 104) tem amplitude 13 mg/dL e que os dados estão relativamente simétricos em torno da mediana 97 (a mediana está aproximadamente central na caixa).

Passo 9

Recapitulando o que foi calculado (já fizemos tudo com explicações): média, desvio padrão amostral, mediana, quartis, tabela para o histograma e a construção do boxplot (cinco números e ausência de outliers).

Resposta

Média amostral: \bar{x}=97{,}1 mg/dL\n
Desvio padrão amostral: s\approx 8{,}306 mg/dL\n
Mediana amostral: \;97 mg/dL\n
Quartis: Q_1=91,\;Q_3=104 (IQR =13)\n
Histograma (classes de largura 5, frequências): 85\le x<90:\;2,\;90\le x<95:\;2,\;95\le x<100:\;2,\;100\le x<105:\;2,\;105\le x<110:\;1,\;110\le x\le115:\;1\n
Boxplot (cinco números): \min=85,\;Q_1=91,\;\text{mediana}=97,\;Q_3=104,\;\max=110 (sem outliers pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}).

Exercícios relacionados