Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    O tempo de reação (em segundos) de 12 voluntários após estímulo visual foi registrado:
    (0.52,0.61,0.58,0.65,0.70,0.55,0.49,0.60,0.66,0.63,0.57,0.54).

Passo 1

Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
Dados fornecidos (tempos de reação em segundos): \,0,52,\,0,61,\,0,58,\,0,65,\,0,70,\,0,55,\,0,49,\,0,60,\,0,66,\,0,63,\,0,57,\,0,54\,.
O que temos que calcular e construir:
  1. Média amostral.
  2. Desvio padrão amostral.
  3. Mediana amostral.
  4. Quartis (pelo método que divide a amostra ordenada em metades quando n é par).
  5. Construir o histograma (vou escolher uma divisão de classes adequada e mostrar as contagens).
  6. Construir o boxplot (dar os pontos necessários: mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo e indicar se há outliers).

Passo 2

Ordenar os dados (sempre começo por isto — facilita mediana e quartis). Ordenando em ordem crescente obtenho:
0,49,\;0,52,\;0,54,\;0,55,\;0,57,\;0,58,\;0,60,\;0,61,\;0,63,\;0,65,\;0,66,\;0,70.
Confirmei que há n=12 observações.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x}. Primeiro a definição e a fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Aqui n é o número de observações (aqui n=12) e x_i são os valores individuais. Somando todos os tempos:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 0,49+0,52+0,54+0,55+0,57+0,58+0,60+0,61+0,63+0,65+0,66+0,70 = 7,10.
Portanto
\bar{x}=\frac{7,10}{12}=0,591666\ldots
Arredondando de forma prática para a prova:
\bar{x}\approx 0,5917.

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral s. Vou explicar bem: o desvio padrão amostral mede a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula (amostral) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2},
onde usamos n-1 no denominador para obter uma estimativa não viesada da variância populacional (isso é o “corretor de Bessel”).
Vou calcular passo a passo as diferenças x_i-\bar{x}, seus quadrados e somar. Usarei \bar{x}=0,591666\ldots (vou mostrar números arredondados nas contas, mantendo precisão suficiente):
Lista (valor, diferença x_i-\bar{x}, quadrado):
\begin{aligned} 0,49 &: &\;0,49-0,591667 &= -0,101667, &(-0,101667)^2 &= 0,0103340\\\\ 0,52 &: &\;0,52-0,591667 &= -0,071667, &(-0,071667)^2 &= 0,0051386\\\\ 0,54 &: &\;0,54-0,591667 &= -0,051667, &(-0,051667)^2 &= 0,0026703\\\\ 0,55 &: &\;0,55-0,591667 &= -0,041667, &(-0,041667)^2 &= 0,0017361\\\\ 0,57 &: &\;0,57-0,591667 &= -0,021667, &(-0,021667)^2 &= 0,0004694\\\\ 0,58 &: &\;0,58-0,591667 &= -0,011667, &(-0,011667)^2 &= 0,0001361\\\\ 0,60 &: &\;0,60-0,591667 &= 0,008333, &(0,008333)^2 &= 0,0000694\\\\ 0,61 &: &\;0,61-0,591667 &= 0,018333, &(0,018333)^2 &= 0,0003361\\\\ 0,63 &: &\;0,63-0,591667 &= 0,038333, &(0,038333)^2 &= 0,0014694\\\\ 0,65 &: &\;0,65-0,591667 &= 0,058333, &(0,058333)^2 &= 0,0034028\\\\ 0,66 &: &\;0,66-0,591667 &= 0,068333, &(0,068333)^2 &= 0,0046694\\\\ 0,70 &: &\;0,70-0,591667 &= 0,108333, &(0,108333)^2 &= 0,0117361 \end{aligned}
Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{12} (x_i-\bar{x})^2 \approx 0,0421679.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{0,0421679}{n-1}=\frac{0,0421679}{11}\approx 0,00383345.
E o desvio padrão:
s=\sqrt{0,00383345}\approx 0,06193.
Arredondando razoavelmente para a prova:
s\approx 0,0619.

Passo 5

Calcular a mediana. Para n par (aqui n=12), a mediana é a média dos valores nas posições n/2 e n/2+1, isto é das 6ª e 7ª observações da amostra ordenada.
Na amostra ordenada:
\text{6ª}=0,58,\qquad \text{7ª}=0,60.ªª
Portanto
\text{mediana}=\frac{0,58+0,60}{2}=0,59.

Passo 6

Calcular os quartis pelo método de dividir a amostra ordenada em duas metades (como n é par).
  • A metade inferior (primeiras 6 observações): 0,49,0,52,0,54,0,55,0,57,0,58. O Q_1 é a mediana dessa metade: média da 3ª e 4ª observações dessa metade, isto é (0,54+0,55)/2. Então
Q_1=\frac{0,54+0,55}{2}=0,545.
  • A metade superior (últimas 6 observações): 0,60,0,61,0,63,0,65,0,66,0,70. O Q_3 é a mediana dessa metade: média da 3ª e 4ª observações da metade superior, isto é (0,63+0,65)/2. Então
Q_3=\frac{0,63+0,65}{2}=0,64.
  • O intervalo interquartílico (IQR) é
\text{IQR}=Q_3-Q_1=0,64-0,545=0,095.
  • Verificar outliers usando as cercas Q_1-1,5\cdot\text{IQR} e Q_3+1,5\cdot\text{IQR}:
\text{cerca inferior}=0,545-1,5\cdot0,095=0,545-0,1425=0,4025,
\text{cerca superior}=0,64+1,5\cdot0,095=0,64+0,1425=0,7825.
Todos os dados estão entre 0,49 e 0,70, portanto não há outliers segundo essa regra (nenhum valor abaixo de 0,4025 nem acima de 0,7825).

Passo 7

Construir o histograma — escolha de classes e contagens. Explico: para amostras pequenas costuma-se usar poucas classes (3–6). O alcance é 0,70-0,49=0,21. Vou usar 4 classes de largura aproximadamente 0,05 0,06, por exemplo as classes:
[0,48,\,0,54),\;[0,54,\,0,60),\;[0,60,\,0,66),\;[0,66,\,0,72).
(Convenção: incluo o limite esquerdo e excluo o direito, exceto a última classe onde incluo o extremo superior.)
Agora conto quantos valores caem em cada classe (usando os dados ordenados):
  • [0,48,0,54): contém 0,49 e 0,52 \Rightarrow contagem =2.
  • [0,54,0,60): contém 0,54,0,55,0,57,0,58 \Rightarrow contagem =4.
  • [0,60,0,66): contém 0,60,0,61,0,63,0,65 \Rightarrow contagem =4.
  • [0,66,0,72): contém 0,66,0,70 \Rightarrow contagem =2.
Se for desenhar: no eixo horizontal marcar as classes acima e no eixo vertical a frequência (2,4,4,2). As barras ficam centradas nas classes e as alturas correspondem às contagens. Opcionalmente, se preferir densidade, dividir cada contagem pela largura da classe (aqui próximas).
Um esboço textual rápido (cada “*” representa 1 observação):
\begin{array}{l} [0,48,0,54):\; **\\\ [0,54,0,60):\; ****\\\ [0,60,0,66):\; ****\\\ [0,66,0,72):\; ** \end{array}

Passo 8

Construir o boxplot — passo a passo para desenhar e valores a usar:
  1. Caixa (box) entre Q_1 e Q_3: de 0,545 até 0,64.
  2. Linha na caixa representando a mediana: em 0,59.
  3. “Bigodes” (whiskers) vão até o menor e maior valor que não são outliers; aqui mínimo =0,49 e máximo =0,70.
  4. Nenhum ponto fora da caixa/whiskers (não há outliers segundo a regra 1,5·IQR).
Então os números para o boxplot (resumo em cinco números) são:
\text{mín}=0,49,\quad Q_1=0,545,\quad \text{mediana}=0,59,\quad Q_3=0,64,\quad \text{máx}=0,70.íá
Ao desenhar: eixo horizontal cobrindo pelo menos de 0,48 a 0,72; desenhar a caixa entre 0,545 e 0,64 com linha medianal em 0,59 e whiskers até 0,49 e 0,70.

Passo 9

Resumo rápido e incentivo (último empurrão): você já tem tudo o que precisa pra escrever a solução na prova — média, desvio, mediana, quartis, histograma com classes e boxplot com cinco números. Se quiser, na prova use os mesmos arredondamentos que eu usei ( \bar{x}\approx0,5917, s\approx0,0619) para manter consistência. Vai dar certo — respira fundo e confia no passo a passo que você seguiu.

Resposta

Média amostral: \bar{x}=0,5917
Desvio padrão amostral: s\approx 0,0619
Mediana amostral: \text{mediana}=0,59
Quartis: Q_1=0,545,\;Q_3=0,64,\;\text{IQR}=0,095
Histograma (classes [0,48,0,54),[0,54,0,60),[0,60,0,66),[0,66,0,72)): contagens 2,\;4,\;4,\;2
Boxplot (five-number summary): mínimo 0,49, Q_1=0,545, mediana 0,59, Q_3=0,64, máximo 0,70

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