Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
Média amostral
Desvio padrão amostral
Mediana amostral
Quartis
Construa o histograma
Construa o boxplot
A concentração de glicose (mg/dL) no sangue de 10 indivíduos em jejum:
85, 91, 104, 99, 110, 95, 88, 92, 107, 100.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que já temos).\n
Pedido: calcular a média amostral, o desvio padrão amostral, a mediana amostral, os quartis; construir o histograma e construir o boxplot da amostra.\n
Dados (concentração de glicose em mg/dL) fornecidos: \;85,\;91,\;104,\;99,\;110,\;95,\;88,\;92,\;107,\;100.\n
Fim do Passo 1 — agora vamos calcular tudo passo a passo.
Passo 2
Organizar a amostra (sempre começar ordenando os dados para mediana e quartis).\n
Primeiro conto quantos valores há: n=10.\n
Ordenando os dados em ordem crescente (peguei os números do enunciado e ordenei): 85,\;88,\;91,\;92,\;95,\;99,\;100,\;104,\;107,\;110.
Passo 3
Cálculo da média amostral — explicando a fórmula e aplicando.\n
Fórmula da média amostral: \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores da amostra.\n
Soma dos valores (peguei cada valor ordenado acima e somei): \sum_{i=1}^{10} x_i = 85+88+91+92+95+99+100+104+107+110 = 971.
Portanto a média é \bar{x}=\frac{971}{10}=97{,}1\\ \text{mg/dL}.
Interpretação rápida: a glicemia média da amostra é \;97{,}1 mg/dL.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão amostral — passo a passo e explicação didática.\n
Fórmula do desvio padrão amostral (usamos o estimador amostral com n-1 no denominador): s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde s é o desvio padrão amostral, x_i cada observação e \bar{x} a média amostral.\n
Primeiro calculamos cada desvio x_i-\bar{x} e seu quadrado (x_i-\bar{x})^2. Vou listar os pares (x_i,\;x_i-\bar{x},\;(x_i-\bar{x})^2) usando \bar{x}=97{,}1:\n
Soma dos quadrados dos desvios: \sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 146{,}41+82{,}81+37{,}21+26{,}01+4{,}41+3{,}61+8{,}41+47{,}61+98{,}01+166{,}41 = 620{,}90.
Variância amostral (estimador com n-1): s^2=\frac{620{,}90}{n-1}=\frac{620{,}90}{9}=68{,}988\overline{8}.
Arredondei para três casas decimais: \;s\approx 8{,}306 mg/dL.\n
Interpretação: em média os valores desviam da média por cerca de \;8{,}3 mg/dL.]
Passo 5
Cálculo da mediana — explicação e aplicação.\n
Regra (caso n par): se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais (os elementos de posição n/2 e n/2+1 na amostra ordenada).\n
Aqui n=10 (par). Os dois valores centrais são a 5ª e a 6ª observação da amostra ordenada: \text{5º}=95,\qquad \text{6º}=99.ºº
Portanto a mediana é \text{mediana}=\frac{95+99}{2}= \frac{194}{2}=97.
Mediana amostral: \;97 mg/dL.
Passo 6
Cálculo dos quartis — método usado e aplicação passo a passo.\n
Vou usar o método comum: como n é par, dividimos a amostra ordenada em duas metades iguais (os 5 menores e os 5 maiores) e calculamos as medianas dessas metades.\n
Construção do histograma — escolha de classes, contagem das frequências e desenho (descrição).\n
Escolha prática: como temos n=10 e os dados vão de 85 a 110, uma escolha simples é usar classes de largura \;5 mg/dL. Começo em \;85. As classes (intervalos) ficam assim (coloquei os intervalos com limite inferior inclusivo e limite superior exclusivo, exceto a última classe que inclui o valor máximo):\n
Como desenhar o histograma: no eixo horizontal coloca-se as classes (por exemplo marcar 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115) e no eixo vertical as frequências. Para cada classe desenhe um retângulo com altura igual à frequência mostrada acima.\n
Exemplo ASCII simplificado (cada ‘*’ = 1 observação) — isto é só um esboço textual para visualizar: \n
Como todos os pontos da amostra estão entre 71{,}5 e 123{,}5 (na verdade entre 85 e 110), não há outliers segundo a regra de 1{,}5\cdot\text{IQR}.\n
Como desenhar o boxplot: desenhe uma caixa (box) do Q_1=91 até Q_3=104, trace uma linha vertical dentro da caixa em \text{mediana}=97. Desenhe os whiskers (linhas) saindo da caixa até o menor valor 85 e até o maior valor 110. Não marque outliers pois não há.\n
Observação interpretativa: o boxplot mostra que a metade central dos dados (entre 91 e 104) tem amplitude 13 mg/dL e que os dados estão relativamente simétricos em torno da mediana 97 (a mediana está aproximadamente central na caixa).
Passo 9
Recapitulando o que foi calculado (já fizemos tudo com explicações): média, desvio padrão amostral, mediana, quartis, tabela para o histograma e a construção do boxplot (cinco números e ausência de outliers).
Resposta
Média amostral: \bar{x}=97{,}1 mg/dL\n
Desvio padrão amostral: s\approx 8{,}306 mg/dL\n
Mediana amostral: \;97 mg/dL\n
Quartis: Q_1=91,\;Q_3=104 (IQR =13)\n
Histograma (classes de largura 5, frequências): 85\le x<90:\;2,\;90\le x<95:\;2,\;95\le x<100:\;2,\;100\le x<105:\;2,\;105\le x<110:\;1,\;110\le x\le115:\;1\n
Boxplot (cinco números): \min=85,\;Q_1=91,\;\text{mediana}=97,\;Q_3=104,\;\max=110 (sem outliers pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}).