Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
- Média amostral
- Desvio padrão amostral
- Mediana amostral
- Quartis
- Construa o histograma
- Construa o boxplot
A pressão arterial sistólica (em mmHg ) de 15 pacientes em repouso foi medida:
118, 125, 132, 110, 140, 128, 135, 122, 138, 119, 126, 130, 127, 134, 121.
A pressão arterial sistólica (em mmHg ) de 15 pacientes em repouso foi medida:
118, 125, 132, 110, 140, 128, 135, 122, 138, 119, 126, 130, 127, 134, 121.
Passo 1
O enunciado dá as 15 medidas da pressão arterial sistólica (em mmHg):
As tarefas pedem que calculemos, para essa amostra de tamanho
: média amostral, desvio padrão amostral, mediana amostral, quartis, construir o histograma e construir o boxplot. Vou primeiro ordenar os dados (porque a mediana e os quartis dependem da ordem):
Dados ordenados (do menor para o maior):
Passo 2
Cálculo da média amostral. Conceito rápido: a média amostral
é a soma das observações dividida pelo número de observações. Fórmula:
onde
são as observações e
o tamanho da amostra.
Vamos somar todas as observações (usei os dados ordenados para facilitar a soma por pares):
Portanto
Interpretação rápida: a pressão média amostral é
mmHg.
Passo 3
Cálculo do desvio padrão amostral. Primeiro a ideia: o desvio padrão amostral
mede a dispersão dos dados em torno da média. Calculamos primeiro a soma dos quadrados dos desvios em relação à média:
Para a amostra usamos a variância amostral com divisor
:
Explico por que
: quando estimamos a variância da população a partir da amostra usamos
(graus de liberdade) para corrigir o viés da estimativa.
Agora os desvios
e seus quadrados (usei
):
Somando os quadrados:
Variância amostral:
Desvio padrão amostral:
Passo 4
Cálculo da mediana. Definição: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para
ímpar a mediana é a observação na posição
.
Aqui
então a posição é
. A oitava observação nos dados ordenados é
. Logo a mediana amostral é
Passo 5
Cálculo dos quartis. Método (usando a convenção usual para amostras ímpares): como
é ímpar, excluímos a mediana e calculamos a mediana da metade inferior para o primeiro quartil
e a mediana da metade superior para o terceiro quartil
.
Metade inferior (observações 1 a 7):
Como são 7 pontos, o
é o quarto valor dessa metade:
Metade superior (observações 9 a 15):
O
é o quarto valor dessa metade:
Intervalo interquartílico:
Passo 6
Checagem de outliers e definição dos limites para o boxplot. Regra comum (1,5·IQR):
Limite inferior (fence inferior):
Limite superior (fence superior):
Como o menor valor observado é
(maior que
) e o maior é
(menor que
), não há observações fora desses limites. Conclusão: não há outliers pelo critério
.
Passo 7
Construção do histograma (escolha de classes e contagem). Vou apresentar uma forma prática de construir o histograma com
classes de largura aproximadamente igual, cobrindo o intervalo dos dados de
a
. O intervalo total é
mmHg, então classes de largura
são convenientes.
Defino as classes (intervalos) e conto quantas observações caem em cada classe. Vou usar a convenção: intervalos da forma
exceto o último que inclui o valor final.
Classes escolhidas:
Contagem das observações em cada classe (usei os dados ordenados para contar):
-
: → frequência . -
: → frequência . -
: → frequência . -
: → frequência . -
: → frequência .
Sugestão de desenho do histograma no papel:
- No eixo horizontal marque as classes
– , – , – , – , – . - No eixo vertical marque a frequência (0,1,2,3,4).
- Desenhe retângulos com alturas
respectivamente para cada classe.
Se preferir proporções relativas, basta dividir cada frequência por
(por ex. a classe com frequência
tem proporção
).
Passo 8
Construção do boxplot. Valores necessários (resumo de cinco números):
Como não há outliers, os “whiskers” (bigodes) vão do mínimo ao máximo observados.
Sugestão para desenhar o boxplot no papel:
- Em uma escala horizontal de pressões (por exemplo de
a ), desenhe um retângulo (a “caixa”) que começa em e termina em . - Dentro da caixa, marque uma linha vertical em
para a mediana. - Desenhe um segmento (whisker) do lado esquerdo da caixa até
e um do lado direito até . - Não coloque pontos fora da faixa porque não há outliers pelo critério escolhido.
Resposta
Média amostral:
mmHg
Desvio padrão amostral: mmHg
Mediana amostral: mmHg
Primeiro quartil: mmHg
Terceiro quartil: mmHg
Intervalo interquartílico: mmHg
Histograma (classes e frequências):
Boxplot (five-number summary): (sem outliers)
Desvio padrão amostral:
Mediana amostral:
Primeiro quartil:
Terceiro quartil:
Intervalo interquartílico:
Histograma (classes e frequências):
Boxplot (five-number summary):