Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    A pressão arterial sistólica (em mmHg ) de 15 pacientes em repouso foi medida:
    118, 125, 132, 110, 140, 128, 135, 122, 138, 119, 126, 130, 127, 134, 121.

Passo 1

O enunciado dá as 15 medidas da pressão arterial sistólica (em mmHg):
118,\;125,\;132,\;110,\;140,\;128,\;135,\;122,\;138,\;119,\;126,\;130,\;127,\;134,\;121.
As tarefas pedem que calculemos, para essa amostra de tamanho \:n=15\:: média amostral, desvio padrão amostral, mediana amostral, quartis, construir o histograma e construir o boxplot. Vou primeiro ordenar os dados (porque a mediana e os quartis dependem da ordem):
Dados ordenados (do menor para o maior):
110,\;118,\;119,\;121,\;122,\;125,\;126,\;127,\;128,\;130,\;132,\;134,\;135,\;138,\;140.

Passo 2

Cálculo da média amostral. Conceito rápido: a média amostral \bar{x} é a soma das observações dividida pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n o tamanho da amostra.
Vamos somar todas as observações (usei os dados ordenados para facilitar a soma por pares):
\sum_{i=1}^{15} x_i = 110+118+119+121+122+125+126+127+128+130+132+134+135+138+140 = 1905.
Portanto
\bar{x}=\frac{1905}{15}=127.
Interpretação rápida: a pressão média amostral é \:127 mmHg.

Passo 3

Cálculo do desvio padrão amostral. Primeiro a ideia: o desvio padrão amostral s mede a dispersão dos dados em torno da média. Calculamos primeiro a soma dos quadrados dos desvios em relação à média:
\text{SS}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Para a amostra usamos a variância amostral com divisor (n-1):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2, \quad s=\sqrt{s^2}.
Explico por que n-1: quando estimamos a variância da população a partir da amostra usamos n-1 (graus de liberdade) para corrigir o viés da estimativa.
Agora os desvios (x_i-\bar{x}) e seus quadrados (usei \bar{x}=127):
\begin{array}{ll} 110-127=-17,&(-17)^2=289\\\\ 118-127=-9,&(-9)^2=81\\\\ 119-127=-8,&(-8)^2=64\\\\ 121-127=-6,&36\\\\ 122-127=-5,&25\\\\ 125-127=-2,&4\\\\ 126-127=-1,&1\\\\ 127-127=0,&0\\\\ 128-127=1,&1\\\\ 130-127=3,&9\\\\ 132-127=5,&25\\\\ 134-127=7,&49\\\\ 135-127=8,&64\\\\ 138-127=11,&121\\\\ 140-127=13,&169 \end{array}
Somando os quadrados:
\text{SS}=289+81+64+36+25+4+1+0+1+9+25+49+64+121+169=938.
Variância amostral:
s^2=\frac{\text{SS}}{n-1}=\frac{938}{14}=67.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{67}\approx 8,185\quad(\text{arredondando para três casas decimais}).ê

Passo 4

Cálculo da mediana. Definição: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para n ímpar a mediana é a observação na posição \frac{n+1}{2}.
Aqui \:n=15\: então a posição é \frac{15+1}{2}=8. A oitava observação nos dados ordenados é \;127. Logo a mediana amostral é
\text{mediana}=127.

Passo 5

Cálculo dos quartis. Método (usando a convenção usual para amostras ímpares): como n é ímpar, excluímos a mediana e calculamos a mediana da metade inferior para o primeiro quartil Q_1 e a mediana da metade superior para o terceiro quartil Q_3.
Metade inferior (observações 1 a 7):
110,\;118,\;119,\;121,\;122,\;125,\;126.
Como são 7 pontos, o Q_1 é o quarto valor dessa metade:
Q_1=121.
Metade superior (observações 9 a 15):
128,\;130,\;132,\;134,\;135,\;138,\;140.
O Q_3 é o quarto valor dessa metade:
Q_3=134.
Intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=134-121=13.

Passo 6

Checagem de outliers e definição dos limites para o boxplot. Regra comum (1,5·IQR):
Limite inferior (fence inferior):
Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=121-1{,}5\cdot13=121-19{,}5=101{,}5.
Limite superior (fence superior):
Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=134+1{,}5\cdot13=134+19{,}5=153{,}5.
Como o menor valor observado é 110 (maior que 101{,}5) e o maior é 140 (menor que 153{,}5), não há observações fora desses limites. Conclusão: não há outliers pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}.

Passo 7

Construção do histograma (escolha de classes e contagem). Vou apresentar uma forma prática de construir o histograma com \:5\: classes de largura aproximadamente igual, cobrindo o intervalo dos dados de 110 a 140. O intervalo total é 30 mmHg, então classes de largura 6 são convenientes.
Defino as classes (intervalos) e conto quantas observações caem em cada classe. Vou usar a convenção: intervalos da forma [a,b) exceto o último que inclui o valor final.
Classes escolhidas:
[110,116),\;[116,122),\;[122,128),\;[128,134),\;[134,140].
Contagem das observações em cada classe (usei os dados ordenados para contar):
  • [110,116): \{110\} → frequência 1.
  • [116,122): \{118,119,121\} → frequência 3.
  • [122,128): \{122,125,126,127\} → frequência 4.
  • [128,134): \{128,130,132\} → frequência 3.
  • [134,140]: \{134,135,138,140\} → frequência 4.
Sugestão de desenho do histograma no papel:
  • No eixo horizontal marque as classes 110 116, 116 122, 122 128, 128 134, 134 140.
  • No eixo vertical marque a frequência (0,1,2,3,4).
  • Desenhe retângulos com alturas 1,3,4,3,4 respectivamente para cada classe.
Se preferir proporções relativas, basta dividir cada frequência por n=15 (por ex. a classe com frequência 4 tem proporção 4/15\approx0{,}2667).

Passo 8

Construção do boxplot. Valores necessários (resumo de cinco números):
\text{mínimo}=110,\quad Q_1=121,\quad \text{mediana}=127,\quad Q_3=134,\quad \text{máximo}=140.íá
Como não há outliers, os “whiskers” (bigodes) vão do mínimo ao máximo observados.
Sugestão para desenhar o boxplot no papel:
  • Em uma escala horizontal de pressões (por exemplo de 105 a 145), desenhe um retângulo (a “caixa”) que começa em 121 e termina em 134.
  • Dentro da caixa, marque uma linha vertical em 127 para a mediana.
  • Desenhe um segmento (whisker) do lado esquerdo da caixa até 110 e um do lado direito até 140.
  • Não coloque pontos fora da faixa porque não há outliers pelo critério escolhido.

Resposta

Média amostral: \bar{x}=127 mmHg
Desvio padrão amostral: s=\sqrt{67}\approx 8{,}185 mmHg
Mediana amostral: 127 mmHg
Primeiro quartil: Q_1=121 mmHg
Terceiro quartil: Q_3=134 mmHg
Intervalo interquartílico: \text{IQR}=13 mmHg
Histograma (classes e frequências): [110,116):1,\;[116,122):3,\;[122,128):4,\;[128,134):3,\;[134,140]:4
Boxplot (five-number summary): \min=110,\;Q_1=121,\;\text{mediana}=127,\;Q_3=134,\;\max=140 (sem outliers)

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