Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
- Média amostral
- Desvio padrão amostral
- Mediana amostral
- Quartis
- Construa o histograma
- Construa o boxplot
A altura (cm) de 20 estudantes:
(160,165,172,168,174,180,158,169,177,182,175,171,167,162,164), (176,173,178,170,166).
A altura (cm) de 20 estudantes:
(160,165,172,168,174,180,158,169,177,182,175,171,167,162,164), (176,173,178,170,166).
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a média amostral.
- Calcular o desvio padrão amostral.
- Calcular a mediana amostral.
- Calcular os quartis.
- Construir o histograma.
- Construir o boxplot.
Dados fornecidos (alturas em cm):
Passo 2
Primeiro passo prático: ordenar os dados (sempre é útil para mediana, quartis, histograma e boxplot). Ordenando em ordem crescente:
Aqui
observações. Vou usar essa lista ordenada para todas as medidas que pediram.
Passo 3
Cálculo da média amostral. Definição curta e intuitiva: a média amostral
é a soma de todas as observações dividido pelo número de observações. Fórmula:
Onde
são as alturas e
é o número de observações (
).
Somando todos os valores (faço soma acumulada para facilitar e evitar erro):
Logo
Interpretação rápida: a altura média da amostra é
cm.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão amostral. Primeiro a definição e por que uso essa fórmula: o desvio padrão amostral
mede a variabilidade das observações em torno da média. A variância amostral usa divisão por
(correção de Bessel) para estimar melhor a variância da população a partir da amostra. Fórmulas úteis:
definição baseada em desvios:
ou fórmula computacional (mais prática para cálculo manual com soma de quadrados):
Vou usar a fórmula computacional. Já temos
e
. Agora calculo
. (Mostro os quadrados principais, soma acumulada já feita abaixo.)
Cálculo intermediário:
Então
Agora a variância amostral:
E o desvio padrão amostral:
Portanto o desvio padrão amostral é aproximadamente
cm (arredondado a duas casas decimais). Observação didática: sem calculadora, você pode fazer a soma dos quadrados e aplicar a fórmula computacional; a raiz final normalmente é aproximada.
Passo 5
Cálculo da mediana. Regra: para
par, a mediana é a média dos dois valores do meio. Como
, os dois valores do meio são o
e o
da lista ordenada.
Da lista ordenada:
Assim a mediana é
Passo 6
Cálculo dos quartis (usando o método simples e comum em provas: dividir a amostra ordenada pela mediana em duas metades e calcular a mediana de cada metade). Explico o procedimento:
- Como
é par, separo a metade inferior e a metade superior . -
é a mediana da metade inferior (mediana dos 10 primeiros valores). -
é a mediana da metade superior (mediana dos 10 últimos valores).
Metade inferior (
a
):
Para esses 10 valores,
é a média do
e do
:
.
Metade superior (
a
):
Para esses 10 valores,
é a média do
e do
da metade superior (que são os
e
do conjunto total):
.
Também calculo o intervalo interquartílico (IQR):
Para verificar outliers uso a regra dos “fences” (comum em boxplot):
Como o mínimo
e o máximo
estão entre
e
, não há observações fora das fences — portanto não há outliers segundo essa regra.
Passo 7
Construção do histograma — escolha das classes e contagens.
Decisão prática de classes: o alcance dos dados vai de
a
(
). Uma divisão simples e didática é usar 5 classes de amplitude aproximadamente
cm, cobrindo todo o intervalo. Vou usar as classes (fechamento à direita para deixar claro):
- Classe 1:
- Classe 2:
- Classe 3:
- Classe 4:
- Classe 5:
Agora conto quantas observações caem em cada classe (usando a lista ordenada):
- Classe 1
: → contagem . - Classe 2
: → contagem . - Classe 3
: → contagem . - Classe 4
: → contagem . - Classe 5
: → contagem .
Tabela de frequências (contagem):
Se for desenhar o histograma no papel:
- No eixo horizontal (x) marque as classes indicadas.
- No eixo vertical (y) marque as frequências (0 a 5).
- Para cada classe desenhe um retângulo com largura da classe e altura igual à frequência (3, 4, 5, 5, 3 respectivamente).
Uma versão rápida em caracteres (cada “*” = 1 observação):
Passo 8
Construção do boxplot — passo a passo e interpretação gráfica:
-
Cinco números necessários (five-number summary): mínimo,
, mediana, , máximo. -
-
Como visto no Passo 6, as fences são
e ; não há outliers (todos os dados dentro das fences). -
Para desenhar o boxplot no papel:
- Desenhe uma caixa (rectângulo) com a face esquerda em
e a face direita em . - Dentro da caixa, desenhe uma linha vertical na mediana
. - Desenhe “bigodes” (whiskers): uma linha do lado esquerdo da caixa até o valor mínimo
, e uma do lado direito até o valor máximo . - Não marque pontos como outliers porque não há nenhum.
- Desenhe uma caixa (rectângulo) com a face esquerda em
Representação do resumo do boxplot (textual):
Sem outliers segundo a regra de 1{,}5·IQR.
Resposta
Média amostral:
cm
Desvio padrão amostral:
cm
Mediana amostral:
cm
Quartis:
Histograma (contagem por classe):
Boxplot (five-number summary e outliers):
— sem outliers (fences:
a
).