Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    A altura (cm) de 20 estudantes:
    (160,165,172,168,174,180,158,169,177,182,175,171,167,162,164), (176,173,178,170,166).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a média amostral.
  • Calcular o desvio padrão amostral.
  • Calcular a mediana amostral.
  • Calcular os quartis.
  • Construir o histograma.
  • Construir o boxplot.
Dados fornecidos (alturas em cm):
160,\;165,\;172,\;168,\;174,\;180,\;158,\;169,\;177,\;182,\;175,\;171,\;167,\;162,\;164,\;176,\;173,\;178,\;170,\;166

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados (sempre é útil para mediana, quartis, histograma e boxplot). Ordenando em ordem crescente:
158,\;160,\;162,\;164,\;165,\;166,\;167,\;168,\;169,\;170,\;171,\;172,\;173,\;174,\;175,\;176,\;177,\;178,\;180,\;182
Aqui n=20 observações. Vou usar essa lista ordenada para todas as medidas que pediram.

Passo 3

Cálculo da média amostral. Definição curta e intuitiva: a média amostral \bar{x} é a soma de todas as observações dividido pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Onde x_i são as alturas e n é o número de observações ( n=20).
Somando todos os valores (faço soma acumulada para facilitar e evitar erro):
158+160+162+164+165+166+167+168+169+170+171+172+173+174+175+176+177+178+180+182=3407
Logo
\bar{x}=\frac{3407}{20}=170{,}35
Interpretação rápida: a altura média da amostra é 170{,}35 cm.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral. Primeiro a definição e por que uso essa fórmula: o desvio padrão amostral s mede a variabilidade das observações em torno da média. A variância amostral usa divisão por n-1 (correção de Bessel) para estimar melhor a variância da população a partir da amostra. Fórmulas úteis:
definição baseada em desvios:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^{2}
ou fórmula computacional (mais prática para cálculo manual com soma de quadrados):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} - n\bar{x}^{2}\Big)
Vou usar a fórmula computacional. Já temos n=20 e \bar{x}=170{,}35. Agora calculo \sum x_i^{2}. (Mostro os quadrados principais, soma acumulada já feita abaixo.)
\sum_{i=1}^{20} x_i^{2}=581227
Cálculo intermediário:
n\bar{x}^{2}=20\cdot(170{,}35)^{2}=20\cdot 29019{,}1225=580382{,}45
Então
\sum x_i^{2}-n\bar{x}^{2}=581227-580382{,}45=844{,}55
Agora a variância amostral:
s^{2}=\frac{844{,}55}{n-1}=\frac{844{,}55}{19}=44{,}45
E o desvio padrão amostral:
s=\sqrt{44{,}45}\approx 6{,}67
Portanto o desvio padrão amostral é aproximadamente 6{,}67 cm (arredondado a duas casas decimais). Observação didática: sem calculadora, você pode fazer a soma dos quadrados e aplicar a fórmula computacional; a raiz final normalmente é aproximada.

Passo 5

Cálculo da mediana. Regra: para n par, a mediana é a média dos dois valores do meio. Como n=20, os dois valores do meio são o 10^\text{o} e o 11^\text{o} da lista ordenada.
Da lista ordenada:
x_{10}=170,\qquad x_{11}=171
Assim a mediana é
\text{mediana}=\frac{x_{10}+x_{11}}{2}=\frac{170+171}{2}=170{,}5

Passo 6

Cálculo dos quartis (usando o método simples e comum em provas: dividir a amostra ordenada pela mediana em duas metades e calcular a mediana de cada metade). Explico o procedimento:
  • Como n é par, separo a metade inferior x_1,\dots,x_{10} e a metade superior x_{11},\dots,x_{20}.
  • Q_1 é a mediana da metade inferior (mediana dos 10 primeiros valores).
  • Q_3 é a mediana da metade superior (mediana dos 10 últimos valores).
Metade inferior ( x_1 a x_{10}):
158,\;160,\;162,\;164,\;165,\;166,\;167,\;168,\;169,\;170
Para esses 10 valores, Q_1 é a média do 5^\text{o} e do 6^\text{o}: (165+166)/2=165{,}5.
Metade superior ( x_{11} a x_{20}):
171,\;172,\;173,\;174,\;175,\;176,\;177,\;178,\;180,\;182
Para esses 10 valores, Q_3 é a média do 5^\text{o} e do 6^\text{o} da metade superior (que são os 15^\text{o} e 16^\text{o} do conjunto total): (175+176)/2=175{,}5.
Também calculo o intervalo interquartílico (IQR):
\text{IQR}=Q_3-Q_1=175{,}5-165{,}5=10{,}0
Para verificar outliers uso a regra dos “fences” (comum em boxplot):
\text{lower fence}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=165{,}5-1{,}5\cdot10=150{,}5
\text{upper fence}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=175{,}5+1{,}5\cdot10=190{,}5
Como o mínimo 158 e o máximo 182 estão entre 150{,}5 e 190{,}5, não há observações fora das fences — portanto não há outliers segundo essa regra.

Passo 7

Construção do histograma — escolha das classes e contagens.
Decisão prática de classes: o alcance dos dados vai de 158 a 182 ( \text{range}=24). Uma divisão simples e didática é usar 5 classes de amplitude aproximadamente 5 cm, cobrindo todo o intervalo. Vou usar as classes (fechamento à direita para deixar claro):
  • Classe 1: [158,\;162{,}9]
  • Classe 2: [163,\;167{,}9]
  • Classe 3: [168,\;172{,}9]
  • Classe 4: [173,\;177{,}9]
  • Classe 5: [178,\;182{,}9]
Agora conto quantas observações caem em cada classe (usando a lista ordenada):
  • Classe 1 [158,162{,}9]: 158,160,162 → contagem 3.
  • Classe 2 [163,167{,}9]: 164,165,166,167 → contagem 4.
  • Classe 3 [168,172{,}9]: 168,169,170,171,172 → contagem 5.
  • Classe 4 [173,177{,}9]: 173,174,175,176,177 → contagem 5.
  • Classe 5 [178,182{,}9]: 178,180,182 → contagem 3.
Tabela de frequências (contagem):
\begin{array}{l|c} \text{Classe} & \text{Frequência} \\\ \hline [158,\;162{,}9] & 3 \\\ [163,\;167{,}9] & 4 \\\ [168,\;172{,}9] & 5 \\\ [173,\;177{,}9] & 5 \\\ [178,\;182{,}9] & 3 \\\ \end{array}
Se for desenhar o histograma no papel:
  • No eixo horizontal (x) marque as classes indicadas.
  • No eixo vertical (y) marque as frequências (0 a 5).
  • Para cada classe desenhe um retângulo com largura da classe e altura igual à frequência (3, 4, 5, 5, 3 respectivamente).
Uma versão rápida em caracteres (cada “*” = 1 observação):
[158,162{,}9]:\;***\\\ [163,167{,}9]:\;****\\\ [168,172{,}9]:\;*****\\\ [173,177{,}9]:\;*****\\\ [178,182{,}9]:\;***

Passo 8

Construção do boxplot — passo a passo e interpretação gráfica:
  1. Cinco números necessários (five-number summary): mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo.
    • \min=158
    • Q_1=165{,}5
    • \text{mediana}=170{,}5
    • Q_3=175{,}5
    • \max=182
  2. Como visto no Passo 6, as fences são 150{,}5 e 190{,}5; não há outliers (todos os dados dentro das fences).
  3. Para desenhar o boxplot no papel:
    • Desenhe uma caixa (rectângulo) com a face esquerda em Q_1=165{,}5 e a face direita em Q_3=175{,}5.
    • Dentro da caixa, desenhe uma linha vertical na mediana 170{,}5.
    • Desenhe “bigodes” (whiskers): uma linha do lado esquerdo da caixa até o valor mínimo 158, e uma do lado direito até o valor máximo 182.
    • Não marque pontos como outliers porque não há nenhum.
Representação do resumo do boxplot (textual):
\text{Five-number summary: }158,\;165{,}5,\;170{,}5,\;175{,}5,\;182
Sem outliers segundo a regra de 1{,}5·IQR.

Resposta

Média amostral: \bar{x}=170{,}35 cm
Desvio padrão amostral: s\approx 6{,}67 cm
Mediana amostral: 170{,}5 cm
Quartis: Q_1=165{,}5,\;Q_3=175{,}5
Histograma (contagem por classe): [158,162{,}9]:3,\;[163,167{,}9]:4,\;[168,172{,}9]:5,\;[173,177{,}9]:5,\;[178,182{,}9]:3
Boxplot (five-number summary e outliers): 158,\;165{,}5,\;170{,}5,\;175{,}5,\;182 — sem outliers (fences: 150{,}5 a 190{,}5).

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