Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    O número de leucócitos ( 10^{3} / \mathrm{mm}^{3}) em 10 amostras de sangue:
    (6.2,7.1,5.8,6.5,7.4,5.9,6.8,7.0,6.3,7.2).

Passo 1

O enunciado pede que, para a amostra de 10 observações dos leucócitos, eu calcule: média amostral, desvio padrão amostral, mediana amostral, quartis, e construa o histograma e o boxplot.
Os dados fornecidos são (em 10^{3}/\mathrm{mm}^{3}):
6,2,\;7,1,\;5,8,\;6,5,\;7,4,\;5,9,\;6,8,\;7,0,\;6,3,\;7,2.
Lista das perguntas que vou responder:
  1. Calcular \bar{x} (média amostral).
  2. Calcular s (desvio padrão amostral, com denominador n-1).
  3. Calcular a mediana amostral.
  4. Calcular os quartis Q_1,Q_2,Q_3.
  5. Construir o histograma (especificar classes e frequências).
  6. Construir o boxplot (dar os valores do mínimo, Q_1, mediana, Q_3 e máximo; indicar se há outliers).

Passo 2

Cálculo da média amostral. Fórmula e explicação: a média amostral \bar{x} é a soma das observações dividida pelo número de observações. Em fórmula,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o tamanho da amostra e x_i são as observações. Aqui n=10. Somando as observações:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 6,2+7,1+5,8+6,5+7,4+5,9+6,8+7,0+6,3+7,2 = 66,2.
Portanto
\bar{x}=\frac{66,2}{10}=6,62.
Interpretação: o valor médio de leucócitos na amostra é \bar{x}=6,62 ( 10^{3}/\mathrm{mm}^{3}).

Passo 3

Cálculo do desvio padrão amostral s. Fórmula e explicação: o desvio padrão amostral mede a dispersão dos dados em torno da média. Usamos a variância amostral com denominador n-1 (correção de Bessel) para estimar a variância da população:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}, \qquad s=\sqrt{s^{2}}.
Vou calcular cada desvio x_i-\bar{x} e seu quadrado (tudo em 10^{3}/\mathrm{mm}^{3}, mas as unidades não mudam os cálculos):
\begin{array}{lcl} x_1=6,2 &:& x_1-\bar{x}=6,2-6,62=-0,42 \quad (x_1-\bar{x})^{2}=0,1764\\[4pt] x_2=7,1 &:& 7,1-6,62=0,48 \quad (0,48)^{2}=0,2304\\[4pt] x_3=5,8 &:& 5,8-6,62=-0,82 \quad ( -0,82)^{2}=0,6724\\[4pt] x_4=6,5 &:& 6,5-6,62=-0,12 \quad ( -0,12)^{2}=0,0144\\[4pt] x_5=7,4 &:& 7,4-6,62=0,78 \quad (0,78)^{2}=0,6084\\[4pt] x_6=5,9 &:& 5,9-6,62=-0,72 \quad ( -0,72)^{2}=0,5184\\[4pt] x_7=6,8 &:& 6,8-6,62=0,18 \quad (0,18)^{2}=0,0324\\[4pt] x_8=7,0 &:& 7,0-6,62=0,38 \quad (0,38)^{2}=0,1444\\[4pt] x_9=6,3 &:& 6,3-6,62=-0,32 \quad ( -0,32)^{2}=0,1024\\[4pt] x_{10}=7,2 &:& 7,2-6,62=0,58 \quad (0,58)^{2}=0,3364 \end{array}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=0,1764+0,2304+0,6724+0,0144+0,6084+0,5184+0,0324+0,1444+0,1024+0,3364=2,8360.
Agora a variância amostral:
s^{2}=\frac{2,8360}{n-1}=\frac{2,8360}{9}=0,315111\ldots
E o desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0,315111\ldots}\approx 0,561.
Interpretação: a dispersão típica em torno da média é cerca de 0,561 ( 10^{3}/\mathrm{mm}^{3}). (Usei arredondamento a três casas decimais; em prova pode usar duas se for solicitado.)]

Passo 4

Cálculo da mediana. Procedimento: ordenar os dados e tomar o valor central. Para n par (aqui n=10), a mediana é a média dos dois valores centrais. Dados ordenados em ordem crescente (eu ordenei explicitamente):
5,8,\;5,9,\;6,2,\;6,3,\;6,5,\;6,8,\;7,0,\;7,1,\;7,2,\;7,4.
Os dois valores centrais são o 5º e o 6º elementos: 6,5 e 6,8. Assim a mediana é
\text{mediana}=\frac{6,5+6,8}{2}=6,65.

Passo 5

Cálculo dos quartis Q_1 e Q_3 e do intervalo interquartílico (IQR). Método escolhido e justificativa: vou usar o método comum de dividir a amostra ordenada em duas metades iguais (já que n é par) e tomar Q_1 como a mediana da metade inferior e Q_3 como a mediana da metade superior — é simples e apropriado para provas de graduação. Metade inferior (primeiros 5 valores):
5,8,\;5,9,\;6,2,\;6,3,\;6,5.
A mediana dessa metade (valor central) é o 3º elemento: Q_1=6,2. Metade superior (últimos 5 valores):
6,8,\;7,0,\;7,1,\;7,2,\;7,4.
A mediana dessa metade (valor central) é o 3º elemento: Q_3=7,1. Já Q_2 é a mediana (já calculada) 6,65. O IQR é
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=7,1-6,2=0,9.
Detecção de outliers com a regra da cerca 1,5·IQR: limites
\text{limite inferior}=Q_1-1,5\cdot\mathrm{IQR}=6,2-1,5\cdot0,9=6,2-1,35=4,85,
\text{limite superior}=Q_3+1,5\cdot\mathrm{IQR}=7,1+1,35=8,45.
Como todos os dados estão entre 5,8 e 7,4, não há outliers segundo essa regra.

Passo 6

Construção do histograma (classes e frequências). Escolha de classes: o intervalo dos dados é
\text{mínimo}=5,8,\qquad \text{máximo}=7,4,\qquad \text{amplitude}=7,4-5,8=1,6.íá
Uma escolha prática é usar 4 classes de largura igual =0,4 (isso torna o histograma simples para \,10 observações). Vou tomar classes fechadas à esquerda e abertas à direita, exceto a última que fecha à direita para incluir o máximo. As classes e contagens são:
Classes (em 10^{3}/\mathrm{mm}^{3}):
[5,8,\,6,2),\quad [6,2,\,6,6),\quad [6,6,\,7,0),\quad [7,0,\,7,4].
Contando os pontos (usei os dados ordenados):
  • Classe [5,8,6,2): contém 5,8 e 5,9 \Rightarrow frequência =2.
  • Classe [6,2,6,6): contém 6,2,\;6,3,\;6,5 \Rightarrow frequência =3.
  • Classe [6,6,7,0): contém 6,8 \Rightarrow frequência =1.
  • Classe [7,0,7,4]: contém 7,0,\;7,1,\;7,2,\;7,4 \Rightarrow frequência =4.
Como desenhar: no eixo x coloque as classes acima (cada barra com largura 0,4); no eixo y a altura das barras é a frequência (2, 3, 1, 4). Se preferir densidade, divida frequência pela largura (ex.: 2/0,4=5 para a primeira), mas para uma amostra pequena a frequência simples é suficiente. Visualização rápida (texto):
\begin{array}{l} [5,8,6,2):\;||\; (2)\\\ [6,2,6,6):\;||| \; (3)\\\ [6,6,7,0):\;| \; (1)\\\ [7,0,7,4]:\;|||| \; (4) \end{array}
Isso é o histograma em termos de frequências por classe.

Passo 7

Construção do boxplot. Valores necessários (já calculados):
\text{mínimo}=5,8,\quad Q_1=6,2,\quad \text{mediana }(Q_2)=6,65,\quad Q_3=7,1,\quad \text{máximo}=7,4.íá
Regras de construção e interpretação: desenhe uma caixa entre Q_1 e Q_3 (ou seja entre 6,2 e 7,1), trace a linha dentro da caixa na mediana ( 6,65), e estenda os “bigodes” (whiskers) do mínimo ao máximo desde que não haja outliers (aqui não há). Assim o whisker inferior vai até 5,8 e o superior até 7,4. Não há pontos isolados fora dos whiskers. Em coordenadas para desenhar: box de x=6,2 a x=7,1, mediana em x=6,65, whiskers até 5,8 e 7,4.

Resposta

Média amostral: \bar{x}=6,62
Desvio padrão amostral: s\approx 0,561
Mediana amostral: mediana =6,65
Quartis: Q_1=6,2, Q_2=6,65, Q_3=7,1
Histograma (classes e frequências): [5,8,6,2):2,\;[6,2,6,6):3,\;[6,6,7,0):1,\;[7,0,7,4]:4
Boxplot (valores para desenhar): mínimo =5,8, Q_1=6,2, mediana =6,65, Q_3=7,1, máximo =7,4 (sem outliers).

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