Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    Níveis de colesterol LDL (mg/dL) em 14 pacientes: (145,160,152,138,175,149,155,162,170,148,143,166,158,150).

Passo 1

O enunciado pede que, usando os dados fornecidos, você calcule:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
Os dados fornecidos (níveis de LDL em mg/dL) são:
(145,160,152,138,175,149,155,162,170,148,143,166,158,150).

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados (sempre que formos calcular mediana e quartis é essencial ter a amostra ordenada). Ordenando em ordem crescente temos:
138,\;143,\;145,\;148,\;149,\;150,\;152,\;155,\;158,\;160,\;162,\;166,\;170,\;175.
Aqui já contei os elementos: n=14.

Passo 3

Cálculo da média amostral com explicação didática.
Fórmula da média amostral: se temos n observações x_1,\dots,x_n, a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x} é a média (o “centro de gravidade” dos dados) e n é o número de observações.
Somamos todas as observações (mostro a soma):
\sum_{i=1}^{14} x_i = 2171.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{2171}{14}=155,071428\ldots
Arredondando de forma prática para três casas decimais:
\bar{x}\approx 155,071\\ \text{mg/dL}.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral com explicação didática.
Definição e interpretação breve: o desvio padrão amostral s mede o espalhamento típico das observações em torno da média. Para uma amostra usamos a fórmula que divide por n-1 para corrigir o viés (chamada correção de Bessel).
Fórmula:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
Uma forma prática é usar a identidade
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2,
então
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\right).
Calculei a soma dos quadrados das observações:
\sum_{i=1}^{14} x_i^2 = 338141.
Já tínhamos n\bar{x}^2 = \dfrac{2171^2}{14} = 336660,071428\ldots
Logo
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = 338141 - 336660,071428\ldots = 1480,928571\ldots
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{1480,928571\ldots}{n-1}=\frac{1480,928571\ldots}{13}=113,917582\ldots
E o desvio padrão amostral:
s=\sqrt{113,917582\ldots}\approx 10,673\\ \text{mg/dL}.
Interpretação curta: em média, os níveis de LDL variam cerca de 10,673 mg/dL em torno da média.

Passo 5

Cálculo da mediana com explicação didática.
A mediana é o valor central que divide a amostra em duas metades com o mesmo número de observações menores e maiores. Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Aqui n=14 (par). Os dois valores centrais na lista ordenada são o 7^\circ e o 8^\circ elementos:
x_{(7)}=152,\qquad x_{(8)}=155.
Logo a mediana é
\text{Mediana}=\frac{152+155}{2}=153,5.

Passo 6

Cálculo dos quartis com método prático (convenção usada: para n par, dividimos a amostra em duas metades de n/2 observações e tomamos a mediana de cada metade).
Lower half (primeiras 7 observações):
138,\;143,\;145,\;148,\;149,\;150,\;152.
A mediana desta metade (o 4^\circ valor) é \,148. Então
Q_1=148.
Upper half (últimas 7 observações):
155,\;158,\;160,\;162,\;166,\;170,\;175.
A mediana desta metade (o 4^\circ valor) é \,162. Então
Q_3=162.
O quartil mediano Q_2 é a mediana já calculada:
Q_2=\text{Mediana}=153,5.
Cálculo do intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=162-148=14.

Passo 7

Verificação de outliers usando as “fences” (método IQR).
Definição: observações abaixo de Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR} ou acima de Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR} são consideradas outliers.
Cálculo das fences:
\text{Lower fence}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=148-1{,}5\cdot14=148-21=127,
\text{Upper fence}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=162+21=183.
Todos os dados estão entre 138 e 175, ou seja dentro das fences 127 e 183. Conclusão: não há outliers.

Passo 8

Construção do histograma (escolha prática de classes e contagem).
Decisão prática (explico o porquê): os dados vão de 138 a 175 (intervalo de 37). Para um histograma simples e legível escolhi classes de largura 10 mg/dL. As classes (com a convenção que o limite inferior é inclusivo e o superior exclusivo, exceto a última) são:
[135,145),\;[145,155),\;[155,165),\;[165,175),\;[175,185).
Contagem por classe (contando os pontos da lista ordenada):
  • [135,145): 138,\;143 → frequência 2.
  • [145,155): 145,\;148,\;149,\;150,\;152 → frequência 5.
  • [155,165): 155,\;158,\;160,\;162 → frequência 4.
  • [165,175): 166,\;170 → frequência 2.
  • [175,185): 175 → frequência 1.
Resumo do histograma (classe : frequência):
[135,145):2,\quad [145,155):5,\quad [155,165):4,\quad [165,175):2,\quad [175,185):1.
Se você fosse desenhar no papel: no eixo horizontal coloque as classes e no eixo vertical a frequência; desenhe barras com alturas 2,5,4,2,1 respectivamente. Para litros de prova, esse histograma mostra uma leve concentração entre 145 e 165 mg/dL.

Passo 9

Construção do boxplot (explicação de como montar e resumo numérico).
Para construir um boxplot você precisa dos cinco números:
\text{Min}=138,\quad Q_1=148,\quad \text{Mediana}=153,5,\quad Q_3=162,\quad \text{Max}=175.
O retângulo (box) vai de Q_1=148 até Q_3=162; dentro do box marca-se a mediana em 153,5. Os “whiskers” (bigodes) vão do box até o menor e maior valores que não são outliers — aqui são exatamente o mínimo 138 e o máximo 175. Não há pontos isolados (outliers). Se você desenhar no papel: eixo horizontal em mg/dL, desenha o box entre 148 e 162, traço vertical em 153,5, e linhas retas até 138 e 175.

Resposta

Média amostral: 155,071 mg/dL
Desvio padrão amostral: 10,673 mg/dL
Mediana amostral: 153,5 mg/dL
Quartis: Q_1=148, Q_2=153,5, Q_3=162
Histograma (classes : frequência):
[135,145):2
[145,155):5
[155,165):4
[165,175):2
[175,185):1
Boxplot (five-number summary): Min =138, Q_1=148, Mediana =153,5, Q_3=162, Max =175 (sem outliers).

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