Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    A concentração de uma proteína específica ( \mathrm{em} \mu \mathrm{g} / \mathrm{mL} ) em 12 amostras biológicas:
    (2.1,2.5,2.3,2.8,3.0,2.4,2.6,2.2,2.9,3.1,2.7,2.5).

Passo 1

O enunciado pede que, a partir das 12 observações da concentração da proteína (em \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}), eu calcule: média amostral, desvio padrão amostral, mediana amostral, quartis; e que eu construa o histograma e o boxplot.
Os dados fornecidos (lista de 12 amostras) são:
2{,}1,\;2{,}5,\;2{,}3,\;2{,}8,\;3{,}0,\;2{,}4,\;2{,}6,\;2{,}2,\;2{,}9,\;3{,}1,\;2{,}7,\;2{,}5.
Eu vou usar exatamente esses 12 valores e não vou pedir nenhuma informação adicional.

Passo 2

Organizar os dados em ordem crescente (passo obrigatório antes de mediana/quartis):
2{,}1,\;2{,}2,\;2{,}3,\;2{,}4,\;2{,}5,\;2{,}5,\;2{,}6,\;2{,}7,\;2{,}8,\;2{,}9,\;3{,}0,\;3{,}1.
Agora calculo a média amostral. A média aritmética amostral \bar{x} é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações (aqui n=12) e x_i são as observações. Somando os dados:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 31{,}1.
Logo
\bar{x}=\frac{31{,}1}{12}=2{,}591666\ldots
Para usar na prova, é comum arredondar para 3 casas decimais:
\bar{x}\approx 2{,}592\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral. Primeiro explico a fórmula e o porquê do n-1: o estimador amostral não viciado da variância usa
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}. O n-1 corrige o viés porque usamos \bar{x} (estimador) em vez do valor verdadeiro da média da população.
Faço as diferenças x_i-\bar{x} e os quadrados. Vou apresentar os valores (uso \bar{x}=2{,}591666\ldots nas contas):
\begin{array}{lcl} x_1=2{,}1 &\Rightarrow& (x_1-\bar{x})^2 \approx 0{,}241737 \\\ x_2=2{,}2 &\Rightarrow& (x_2-\bar{x})^2 \approx 0{,}153403 \\\ x_3=2{,}3 &\Rightarrow& (x_3-\bar{x})^2 \approx 0{,}085069 \\\ x_4=2{,}4 &\Rightarrow& (x_4-\bar{x})^2 \approx 0{,}036736 \\\ x_5=2{,}5 &\Rightarrow& (x_5-\bar{x})^2 \approx 0{,}008403 \\\ x_6=2{,}5 &\Rightarrow& (x_6-\bar{x})^2 \approx 0{,}008403 \\\ x_7=2{,}6 &\Rightarrow& (x_7-\bar{x})^2 \approx 0{,}000069 \\\ x_8=2{,}7 &\Rightarrow& (x_8-\bar{x})^2 \approx 0{,}011736 \\\ x_9=2{,}8 &\Rightarrow& (x_9-\bar{x})^2 \approx 0{,}043403 \\\ x_{10}=2{,}9 &\Rightarrow& (x_{10}-\bar{x})^2 \approx 0{,}095069 \\\ x_{11}=3{,}0 &\Rightarrow& (x_{11}-\bar{x})^2 \approx 0{,}166736 \\\ x_{12}=3{,}1 &\Rightarrow& (x_{12}-\bar{x})^2 \approx 0{,}258403 \end{array}
Somando esses quadrados obtemos
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2 \approx 1{,}1091676.
A variância amostral é
s^2=\frac{1{,}1091676}{12-1}=\frac{1{,}1091676}{11}\approx 0{,}1008334.
E o desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0{,}1008334}\approx 0{,}3175.
Arredondando a três casas decimais para a prova:
s\approx 0{,}318\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}.

Passo 4

Calcular a mediana amostral. Com n=12 (par), a mediana é a média dos dois valores centrais (6.º e 7.º na ordenação). Os valores 6.º e 7.º são:
x_{(6)}=2{,}5,\qquad x_{(7)}=2{,}6.
Portanto a mediana é
\text{mediana}=\frac{2{,}5+2{,}6}{2}=2{,}55.

Passo 5

Calcular os quartis. Vou usar o procedimento padrão (quando n é par): dividir os dados em duas metades (primeiras 6 e últimas 6) e tomar a mediana de cada metade.
  • Metade inferior (primeiros 6): 2{,}1,\;2{,}2,\;2{,}3,\;2{,}4,\;2{,}5,\;2{,}5. A mediana dessa metade (quartil \,Q_1) é a média dos 3.º e 4.º termos dessa metade:
Q_1=\frac{2{,}3+2{,}4}{2}=2{,}35.
  • Metade superior (últimos 6): 2{,}6,\;2{,}7,\;2{,}8,\;2{,}9,\;3{,}0,\;3{,}1. A mediana dessa metade (quartil \,Q_3) é a média dos 3.º e 4.º termos dessa metade:
Q_3=\frac{2{,}8+2{,}9}{2}=2{,}85.
Resumo dos pontos-chave:
\min = 2{,}1,\quad Q_1=2{,}35,\quad \text{mediana}=2{,}55,\quad Q_3=2{,}85,\quad \max=3{,}1.
O intervalo interquartílico é
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=2{,}85-2{,}35=0{,}50.
Para verificar outliers (regra dos 1{,}5,IQR):
\text{limite inferior}=Q_1-1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=2{,}35-0{,}75=1{,}60,
\text{limite superior}=Q_3+1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=2{,}85+0{,}75=3{,}60.
Como todos os dados estão em [2{,}1,3{,}1], não há outliers segundo essa regra.

Passo 6

Construir o histograma (escolha prática de classes). Com n=12 e intervalo de dados de 2{,}1 a 3{,}1, uma escolha natural é usar classes de largura 0{,}2. Defino as classes (intervalos à esquerda inclusiva, direita exclusiva, exceto a última que inclui o limite superior):
[2{,}10,2{,}30),\;[2{,}30,2{,}50),\;[2{,}50,2{,}70),\;[2{,}70,2{,}90),\;[2{,}90,3{,}10].
Contagens em cada classe (usei os dados ordenados listados antes):
\begin{array}{lcl} [2{,}10,2{,}30): & 2 & \text{(valores: }2{,}1,\;2{,}2) \\\ [2{,}30,2{,}50): & 2 & \text{(valores: }2{,}3,\;2{,}4) \\\ [2{,}50,2{,}70): & 3 & \text{(valores: }2{,}5,\;2{,}5,\;2{,}6) \\\ [2{,}70,2{,}90): & 2 & \text{(valores: }2{,}7,\;2{,}8) \\\ [2{,}90,3{,}10]: & 3 & \text{(valores: }2{,}9,\;3{,}0,\;3{,}1) \end{array}
Se desenhar o histograma no papel: no eixo horizontal coloque os intervalos acima e no eixo vertical as contagens \{2,2,3,2,3\}. Um esboço rápido em barras (cada “*” representa uma observação) ficaria assim:
\begin{array}{l} [2{,}10,2{,}30):\\ \\ ** \\\ [2{,}30,2{,}50):\\ \\ ** \\\ [2{,}50,2{,}70):\\ \\ *** \\\ [2{,}70,2{,}90):\\ \\ ** \\\ [2{,}90,3{,}10]:\\ \\ *** \end{array}

Passo 7

Construir o boxplot (caixa e bigodes). Para desenhar o boxplot você precisa dos cinco números resumidos já calculados:
\min=2{,}1,\quad Q_1=2{,}35,\quad \text{mediana}=2{,}55,\quad Q_3=2{,}85,\quad \max=3{,}1.
Instruções para desenhar:
  • Desenhe uma caixa horizontal do valor 2{,}35 até 2{,}85.
  • Trace uma linha vertical dentro da caixa em 2{,}55 (mediana).
  • Os “bigodes” vão do mínimo 2{,}1 até o primeiro quartil 2{,}35 e do terceiro quartil 2{,}85 até o máximo 3{,}1.
  • Não há pontos isolados (outliers) porque todos os valores estão dentro dos limites [1{,}60,3{,}60].
Um desenho ASCII simplificado (escala aproximada) — a caixa [ ] e a linha mediana |:
2{,}1\;-\;| \;[ \;2{,}35\; \;|\; \;2{,}55\; \; \;2{,}85 \;]\; -\;| \;3{,}1

Resposta

Média amostral: \bar{x}=2{,}591666\ldots\approx 2{,}592\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}
Desvio padrão amostral: s\approx 0{,}318\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{mL}
Mediana amostral: \text{mediana}=2{,}55
Quartis: Q_1=2{,}35,\;Q_2=2{,}55,\;Q_3=2{,}85
Histograma (contagens por classe com largura 0{,}2): [2{,}10,2{,}30):2,\;[2{,}30,2{,}50):2,\;[2{,}50,2{,}70):3,\;[2{,}70,2{,}90):2,\;[2{,}90,3{,}10]:3
Boxplot (cinco números): \min=2{,}1,\;Q_1=2{,}35,\;\text{mediana}=2{,}55,\;Q_3=2{,}85,\;\max=3{,}1

Exercícios relacionados