Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
- Média amostral
- Desvio padrão amostral
- Mediana amostral
- Quartis
- Construa o histograma
- Construa o boxplot
A concentração de uma proteína específica (
) em 12 amostras biológicas:
(2.1,2.5,2.3,2.8,3.0,2.4,2.6,2.2,2.9,3.1,2.7,2.5).
A concentração de uma proteína específica (
(2.1,2.5,2.3,2.8,3.0,2.4,2.6,2.2,2.9,3.1,2.7,2.5).
Passo 1
O enunciado pede que, a partir das 12 observações da concentração da proteína (em
), eu calcule: média amostral, desvio padrão amostral, mediana amostral, quartis; e que eu construa o histograma e o boxplot.
Os dados fornecidos (lista de 12 amostras) são:
Os dados fornecidos (lista de 12 amostras) são:
Eu vou usar exatamente esses 12 valores e não vou pedir nenhuma informação adicional.
Passo 2
Organizar os dados em ordem crescente (passo obrigatório antes de mediana/quartis):
Agora calculo a média amostral. A média aritmética amostral
é dada por
onde
é o número de observações (aqui
) e
são as observações. Somando os dados:
Logo
Para usar na prova, é comum arredondar para 3 casas decimais:
Passo 3
Calcular o desvio padrão amostral. Primeiro explico a fórmula e o porquê do
: o estimador amostral não viciado da variância usa
e o desvio padrão amostral é
. O
corrige o viés porque usamos
(estimador) em vez do valor verdadeiro da média da população.
Faço as diferenças
e os quadrados. Vou apresentar os valores (uso
nas contas):
Somando esses quadrados obtemos
A variância amostral é
E o desvio padrão amostral:
Arredondando a três casas decimais para a prova:
Passo 4
Calcular a mediana amostral. Com
(par), a mediana é a média dos dois valores centrais (6.º e 7.º na ordenação). Os valores 6.º e 7.º são:
Portanto a mediana é
Passo 5
Calcular os quartis. Vou usar o procedimento padrão (quando
é par): dividir os dados em duas metades (primeiras 6 e últimas 6) e tomar a mediana de cada metade.
- Metade inferior (primeiros 6):
. A mediana dessa metade (quartil ) é a média dos 3.º e 4.º termos dessa metade:
- Metade superior (últimos 6):
. A mediana dessa metade (quartil ) é a média dos 3.º e 4.º termos dessa metade:
Resumo dos pontos-chave:
O intervalo interquartílico é
Para verificar outliers (regra dos 1{,}5,IQR):
Como todos os dados estão em
, não há outliers segundo essa regra.
Passo 6
Construir o histograma (escolha prática de classes). Com
e intervalo de dados de
a
, uma escolha natural é usar classes de largura
. Defino as classes (intervalos à esquerda inclusiva, direita exclusiva, exceto a última que inclui o limite superior):
Contagens em cada classe (usei os dados ordenados listados antes):
Se desenhar o histograma no papel: no eixo horizontal coloque os intervalos acima e no eixo vertical as contagens
. Um esboço rápido em barras (cada “*” representa uma observação) ficaria assim:
Passo 7
Construir o boxplot (caixa e bigodes). Para desenhar o boxplot você precisa dos cinco números resumidos já calculados:
Instruções para desenhar:
- Desenhe uma caixa horizontal do valor
até . - Trace uma linha vertical dentro da caixa em
(mediana). - Os “bigodes” vão do mínimo
até o primeiro quartil e do terceiro quartil até o máximo . - Não há pontos isolados (outliers) porque todos os valores estão dentro dos limites
.
Um desenho ASCII simplificado (escala aproximada) — a caixa [ ] e a linha mediana |:
Resposta
Média amostral:
Desvio padrão amostral:
Mediana amostral:
Quartis:
Histograma (contagens por classe com largura ):
Boxplot (cinco números):
Desvio padrão amostral:
Mediana amostral:
Quartis:
Histograma (contagens por classe com largura
Boxplot (cinco números):