Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
A intensidade relativa de um marcador molecular (unidades arbitrárias) em 15 amostras:
(120,134,128,140,150,138,132,145,142,136,148,130,143,137,135).

Passo 1

O enunciado pede que, para os dados das intensidades relativas em 15 amostras, eu calcule: média amostral, desvio padrão amostral, mediana amostral, quartis, construa o histograma e construa o boxplot. Os dados fornecidos (peguei do enunciado) são:
120,\;134,\;128,\;140,\;150,\;138,\;132,\;145,\;142,\;136,\;148,\;130,\;143,\;137,\;135.
Listei aqui todas as informações relevantes: o conjunto tem n=15 observações numéricas (valores inteiros em unidades arbitrárias). Nada mais foi pedido além das medidas e dos gráficos. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos calcular a média amostral. Primeiro a definição e a ideia: a média amostral é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores das observações e n é o tamanho da amostra. Vou somar os 15 valores (mostrando a soma):
\begin{aligned} \text{soma} &=120+128+130+132+134+135+136+137+138+140+142+143+145+148+150\\\ &=2058. \end{aligned}
Agora a média:
\bar{x}=\frac{2058}{15}=137{,}2.
Interpretação rápida: em média, a intensidade é 137{,}2 (unidades arbitrárias). Respirei fundo e fiz a conta — você também consegue fazer isso rápido na prova somando em blocos.

Passo 3

Agora o desvio padrão amostral. Vou ensinar a definição e depois calcular passo a passo. A variância amostral (usando o estimador não enviesado) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^{2}}. Aqui n-1 (graus de liberdade) é usado porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra.
Vou calcular cada desvio (x_i-\bar{x}) e seu quadrado (x_i-\bar{x})^{2}. Lembre que \bar{x}=137{,}2.
\begin{aligned} &x_1=120:\quad x_1-\bar{x}=-17{,}2,\quad (x_1-\bar{x})^{2}=295{,}84\\\ &x_2=128:\quad x_2-\bar{x}=-9{,}2,\quad (x_2-\bar{x})^{2}=84{,}64\\\ &x_3=130:\quad x_3-\bar{x}=-7{,}2,\quad (x_3-\bar{x})^{2}=51{,}84\\\ &x_4=132:\quad x_4-\bar{x}=-5{,}2,\quad (x_4-\bar{x})^{2}=27{,}04\\\ &x_5=134:\quad x_5-\bar{x}=-3{,}2,\quad (x_5-\bar{x})^{2}=10{,}24\\\ &x_6=135:\quad x_6-\bar{x}=-2{,}2,\quad (x_6-\bar{x})^{2}=4{,}84\\\ &x_7=136:\quad x_7-\bar{x}=-1{,}2,\quad (x_7-\bar{x})^{2}=1{,}44\\\ &x_8=137:\quad x_8-\bar{x}=-0{,}2,\quad (x_8-\bar{x})^{2}=0{,}04\\\ &x_9=138:\quad x_9-\bar{x}=0{,}8,\quad (x_9-\bar{x})^{2}=0{,}64\\\ &x_{10}=140:\quad x_{10}-\bar{x}=2{,}8,\quad (x_{10}-\bar{x})^{2}=7{,}84\\\ &x_{11}=142:\quad x_{11}-\bar{x}=4{,}8,\quad (x_{11}-\bar{x})^{2}=23{,}04\\\ &x_{12}=143:\quad x_{12}-\bar{x}=5{,}8,\quad (x_{12}-\bar{x})^{2}=33{,}64\\\ &x_{13}=145:\quad x_{13}-\bar{x}=7{,}8,\quad (x_{13}-\bar{x})^{2}=60{,}84\\\ &x_{14}=148:\quad x_{14}-\bar{x}=10{,}8,\quad (x_{14}-\bar{x})^{2}=116{,}64\\\ &x_{15}=150:\quad x_{15}-\bar{x}=12{,}8,\quad (x_{15}-\bar{x})^{2}=163{,}84. \end{aligned}
Agora somo todos os quadrados (já calculei antes):
\sum_{i=1}^{15}(x_i-\bar{x})^{2}=882{,}4.
A variância amostral é
s^{2}=\frac{882{,}4}{15-1}=\frac{882{,}4}{14}=63{,}028571\ldots
e o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{63{,}028571\ldots}\approx 7{,}94.
Dica prática para prova: calcule a soma dos quadrados em colunas (valores, desvios, desvios^2) para não se perder; com calma e bloco você chega nesse 7{,}94.

Passo 4

Mediana amostral. Com n=15 (ímpar), a mediana é o elemento central da amostra ordenada. Primeiro ordeno os dados (mostro a ordenação):
120,\;128,\;130,\;132,\;134,\;135,\;136,\;137,\;138,\;140,\;142,\;143,\;145,\;148,\;150.
A posição da mediana é (n+1)/2=(15+1)/2=8. Portanto a mediana é o 8^\text{o} valor ordenado:
\text{mediana}=137.
Interpretação: metade das amostras tem intensidade menor ou igual a 137 e metade tem maior ou igual.

Passo 5

Quartis. Vou usar o procedimento clássico (método de Tukey): para n ímpar, exclui-se a mediana e calcula-se a mediana da metade inferior para Q_1 e da metade superior para Q_3.
Metade inferior (valores abaixo da mediana), são os 7 primeiros:
120,\;128,\;130,\;132,\;134,\;135,\;136.
A mediana dessa metade (posição 4 entre 7) é 132. Logo
Q_1=132.
Metade superior (valores acima da mediana), são os 7 últimos:
138,\;140,\;142,\;143,\;145,\;148,\;150.
A mediana dessa metade (posição 4 entre 7) é 143. Logo
Q_3=143.
Intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=143-132=11.
Verificação de outliers pelo critério das cercas ( 1{,}5\times IQR):
\text{lower fence}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=132-1{,}5\cdot11=132-16{,}5=115{,}5,
\text{upper fence}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=143+16{,}5=159{,}5.
Nenhum valor está abaixo de 115{,}5 nem acima de 159{,}5; portanto não há outliers segundo esse critério (o menor é 120, o maior é 150).

Passo 6

Construção do histograma (explicando escolhas). Para um conjunto pequeno como este, é comum usar intervalos (bin) de amplitude igual. O alcance (range) dos dados é
\text{range}=150-120=30.
Uma escolha prática é bins de largura 5 unidades. Vou usar os intervalos (meio-abertos à direita ou fechados à esquerda, não importa na prática, aqui vou listar por faixas inteiras):
[120,124],\;[125,129],\;[130,134],\;[135,139],\;[140,144],\;[145,149],\;[150,154].
Agora conto quantos valores caem em cada bin (peguei os dados ordenados acima para contar):
\begin{aligned} [120,124]:&\;1\\ \text{(valor: }120\text{)}\\\ [125,129]:&\;1\\ \text{(valor: }128\text{)}\\\ [130,134]:&\;3\\ \text{(valores: }130,132,134\text{)}\\\ [135,139]:&\;4\\ \text{(valores: }135,136,137,138\text{)}\\\ [140,144]:&\;3\\ \text{(valores: }140,142,143\text{)}\\\ [145,149]:&\;2\\ \text{(valores: }145,148\text{)}\\\ [150,154]:&\;1\\ \text{(valor: }150\text{)}. \end{aligned}
Verificação rápida: 1+1+3+4+3+2+1=15, certo.
Se quiser um histograma desenhado rápido em texto (barras proporcionais a contagens), algo assim (cada “*” = 1 observação):
\begin{aligned} [120,124]:&\\ *\\\ [125,129]:&\\ *\\\ [130,134]:&\\ ***\\\ [135,139]:&\\ ****\\\ [140,144]:&\\ ***\\\ [145,149]:&\\ **\\\ [150,154]:&\\ * \end{aligned}
Explicação prática: na prova você pode desenhar as barras com essas alturas, marcando o eixo x com as faixas e o eixo y com as frequências (0,1,2,3,4).

Passo 7

Construção do boxplot (passo a passo e números que você precisa marcar). Para desenhar um boxplot você precisa, no mínimo, de: mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo, e possivelmente outliers. Já calculei tudo:
  • mínimo: \min=120.
  • Q_1=132.
  • mediana: 137.
  • Q_3=143.
  • máximo: \max=150.
  • IQR: 11.
  • fences: lower fence =115{,}5, upper fence =159{,}5. Não há outliers.
Como desenhar: trace uma caixa do Q_1 até Q_3 (de 132 a 143), desenhe uma linha dentro da caixa na mediana ( 137), desenhe “bigodes” (whiskers) do limite da caixa até o menor e maior valores não-outliers (aqui até 120 e 150), e marque qualquer outlier além das fences (nenhum neste caso). Se precisar de uma representação rápida em texto (posição aproximada em uma escala), poderia anotar:
120\\ \vert\\ \underbrace{132\\ \rule{1cm}{0.4pt}\\\ 137\\ \rule{1cm}{0.4pt}\\\ 143}_{\text{caixa}}\\ \vert\\\ 150
Mas na prova desenhe com régua no eixo horizontal rotulado em unidades de intensidade.

Resposta

Média amostral: \bar{x}=137{,}2
Desvio padrão amostral: s\approx7{,}94
Mediana amostral: 137
Q_1=132
Q_3=143
IQR: 11
Histograma (bins de largura 5) — contagens: [120,124]:1; [125,129]:1; [130,134]:3; [135,139]:4; [140,144]:3; [145,149]:2; [150,154]:1
Boxplot — mínimo =120, Q_1=132, mediana =137, Q_3=143, máximo =150; sem outliers segundo o critério 1{,}5\cdotIQR.

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