Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
Média amostral
Desvio padrão amostral
Mediana amostral
Quartis
Construa o histograma
Construa o boxplot
A intensidade relativa de um marcador molecular (unidades arbitrárias) em 15 amostras:
(120,134,128,140,150,138,132,145,142,136,148,130,143,137,135).
Passo 1
O enunciado pede que, para os dados das intensidades relativas em 15 amostras, eu calcule: média amostral, desvio padrão amostral, mediana amostral, quartis, construa o histograma e construa o boxplot. Os dados fornecidos (peguei do enunciado) são:
Listei aqui todas as informações relevantes: o conjunto tem n=15 observações numéricas (valores inteiros em unidades arbitrárias). Nada mais foi pedido além das medidas e dos gráficos. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos calcular a média amostral. Primeiro a definição e a ideia: a média amostral é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores das observações e n é o tamanho da amostra. Vou somar os 15 valores (mostrando a soma):
Interpretação rápida: em média, a intensidade é 137{,}2 (unidades arbitrárias). Respirei fundo e fiz a conta — você também consegue fazer isso rápido na prova somando em blocos.
Passo 3
Agora o desvio padrão amostral. Vou ensinar a definição e depois calcular passo a passo. A variância amostral (usando o estimador não enviesado) é
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^{2}}. Aqui n-1 (graus de liberdade) é usado porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra.
Vou calcular cada desvio (x_i-\bar{x}) e seu quadrado (x_i-\bar{x})^{2}. Lembre que \bar{x}=137{,}2.
Dica prática para prova: calcule a soma dos quadrados em colunas (valores, desvios, desvios^2) para não se perder; com calma e bloco você chega nesse 7{,}94.
Passo 4
Mediana amostral. Com n=15 (ímpar), a mediana é o elemento central da amostra ordenada. Primeiro ordeno os dados (mostro a ordenação):
A posição da mediana é (n+1)/2=(15+1)/2=8. Portanto a mediana é o 8^\text{o} valor ordenado:
\text{mediana}=137.
Interpretação: metade das amostras tem intensidade menor ou igual a 137 e metade tem maior ou igual.
Passo 5
Quartis. Vou usar o procedimento clássico (método de Tukey): para n ímpar, exclui-se a mediana e calcula-se a mediana da metade inferior para Q_1 e da metade superior para Q_3.
Metade inferior (valores abaixo da mediana), são os 7 primeiros:
120,\;128,\;130,\;132,\;134,\;135,\;136.
A mediana dessa metade (posição 4 entre 7) é 132. Logo
Q_1=132.
Metade superior (valores acima da mediana), são os 7 últimos:
138,\;140,\;142,\;143,\;145,\;148,\;150.
A mediana dessa metade (posição 4 entre 7) é 143. Logo
Q_3=143.
Intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=143-132=11.
Verificação de outliers pelo critério das cercas (1{,}5\times IQR):
Nenhum valor está abaixo de 115{,}5 nem acima de 159{,}5; portanto não há outliers segundo esse critério (o menor é 120, o maior é 150).
Passo 6
Construção do histograma (explicando escolhas). Para um conjunto pequeno como este, é comum usar intervalos (bin) de amplitude igual. O alcance (range) dos dados é
\text{range}=150-120=30.
Uma escolha prática é bins de largura 5 unidades. Vou usar os intervalos (meio-abertos à direita ou fechados à esquerda, não importa na prática, aqui vou listar por faixas inteiras):
Explicação prática: na prova você pode desenhar as barras com essas alturas, marcando o eixo x com as faixas e o eixo y com as frequências (0,1,2,3,4).
Passo 7
Construção do boxplot (passo a passo e números que você precisa marcar). Para desenhar um boxplot você precisa, no mínimo, de: mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo, e possivelmente outliers. Já calculei tudo:
mínimo: \min=120.
Q_1=132.
mediana: 137.
Q_3=143.
máximo: \max=150.
IQR: 11.
fences: lower fence =115{,}5, upper fence =159{,}5. Não há outliers.
Como desenhar: trace uma caixa do Q_1 até Q_3 (de 132 a 143), desenhe uma linha dentro da caixa na mediana (137), desenhe “bigodes” (whiskers) do limite da caixa até o menor e maior valores não-outliers (aqui até 120 e 150), e marque qualquer outlier além das fences (nenhum neste caso). Se precisar de uma representação rápida em texto (posição aproximada em uma escala), poderia anotar: