Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(2,-1),(1,3)\} e C=\{(5,0),(0,2)\}.
Exercícios em mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B e C são bases de \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de transição P_{B\to C} tal que
[v]_{C} \;=\; P_{B\to C}\,[v]_{B}.
Como estamos em \mathbb{R}^2, dois vetores formam base se e somente se são linearmente independentes, o que equivale a terem determinante da matriz formada pelas suas coordenadas diferente de zero. A matriz P_{B\to C} tem colunas dadas pelas coordenadas dos vetores de B escritas na base C.

Passo 2

Verificamos se B=\{(2,-1),(1,3)\} é base calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ -1 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3 - 1\cdot(-1) =6 +1 =7\neq0.
Logo, B é uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Verificamos se C=\{(5,0),(0,2)\} é base calculando
\det\begin{pmatrix}5 & 0\\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =5\cdot2 - 0\cdot0 =10\neq0.
Portanto, C também é uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Para obter P_{B\to C}, escrevemos cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C.
  1. Para (2,-1), achamos \alpha,\beta tais que
\alpha\,(5,0)+\beta\,(0,2) = (2,-1).
Isso dá o sistema
5\alpha = 2, \quad 2\beta = -1,
cujas soluções são \alpha=2/5 e \beta=-1/2.
Assim,
[(2,-1)]_{C} = \begin{pmatrix}2/5\\\\ -1/2\end{pmatrix}.
  1. Para (1,3), resolvemos
5\alpha = 1, \quad 2\beta = 3,
obtendo \alpha=1/5, \beta=3/2.
Então
[(1,3)]_{C} = \begin{pmatrix}1/5\\\\ 3/2\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de mudança de base P_{B\to C} tem como colunas os vetores [(2,-1)]_{C} e [(1,3)]_{C}. Logo,
P_{B\to C} = \begin{pmatrix} 2/5 & 1/5\\\\ -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B\to C} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\\\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.

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