Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(2,-1),(1,3)\} e C=\{(5,0),(0,2)\}.
Exercícios em mathbb{R}^{2}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se B e C são bases de \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de transição P_{B\to C} tal que
[v]_{C} \;=\; P_{B\to C}\,[v]_{B}.
Como estamos em \mathbb{R}^2, dois vetores formam base se e somente se são linearmente independentes, o que equivale a terem determinante da matriz formada pelas suas coordenadas diferente de zero. A matriz P_{B\to C} tem colunas dadas pelas coordenadas dos vetores de B escritas na base C.
Passo 2
Verificamos se B=\{(2,-1),(1,3)\} é base calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: